MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Unicode version

Theorem grpinvhmeo 19775
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpinv.5  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J Homeo J ) )

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpinv.5 . . 3  |-  I  =  ( invg `  G )
31, 2tgpinv 19774 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J  Cn  J ) )
4 tgpgrp 19767 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
5 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
65, 2grpinvcnv 15698 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  `' I  =  I )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  `' I  =  I )
87, 3eqeltrd 2539 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  `' I  e.  ( J  Cn  J
) )
9 ishmeo 19450 . 2  |-  ( I  e.  ( J Homeo J )  <->  ( I  e.  ( J  Cn  J
)  /\  `' I  e.  ( J  Cn  J
) ) )
103, 8, 9sylanbrc 664 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J Homeo J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   `'ccnv 4939   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   TopOpenctopn 14464   Grpcgrp 15514   invgcminusg 15515    Cn ccn 18946   Homeochmeo 19444   TopGrpctgp 19760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-map 7318  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-top 18621  df-topon 18624  df-cn 18949  df-hmeo 19446  df-tgp 19762
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  19801  tsmsxplem1  19845
  Copyright terms: Public domain W3C validator