MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvhmeo Structured version   Unicode version

Theorem grpinvhmeo 20458
Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpinv.5  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvhmeo  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J Homeo J ) )

Proof of Theorem grpinvhmeo
StepHypRef Expression
1 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpinv.5 . . 3  |-  I  =  ( invg `  G )
31, 2tgpinv 20457 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J  Cn  J ) )
4 tgpgrp 20450 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
65, 2grpinvcnv 15980 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  `' I  =  I )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  `' I  =  I )
87, 3eqeltrd 2531 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  `' I  e.  ( J  Cn  J
) )
9 ishmeo 20133 . 2  |-  ( I  e.  ( J Homeo J )  <->  ( I  e.  ( J  Cn  J
)  /\  `' I  e.  ( J  Cn  J
) ) )
103, 8, 9sylanbrc 664 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  I  e.  ( J Homeo J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   `'ccnv 4988   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   TopOpenctopn 14696   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928    Cn ccn 19598   Homeochmeo 20127   TopGrpctgp 20443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-top 19272  df-topon 19275  df-cn 19601  df-hmeo 20129  df-tgp 20445
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  20484  tsmsxplem1  20528
  Copyright terms: Public domain W3C validator