MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Unicode version

Theorem grpinvf 15693
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvf  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinveu 15683 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
5 riotacl 6169 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
)  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )  e.  B
)
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )  e.  B )
7 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
81, 2, 3, 7grpinvfval 15687 . 2  |-  N  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
96, 8fmptd 5969 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E!wreu 2797   -->wf 5515   ` cfv 5519   iota_crio 6153  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   0gc0g 14489   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657
This theorem is referenced by:  grpinvcl  15694  isgrpinv  15699  grpinvcnv  15705  grpinvf1o  15707  pwsinvg  15778  pwssub  15779  oppginv  15985  invoppggim  15986  symgtrinv  16089  invghm  16431  gsumzinv  16556  gsumzinvOLD  16557  dprdfinv  16623  dprdfinvOLD  16630  grpvlinv  18413  grpvrinv  18414  mdetralt  18539  istgp2  19787  symgtgp  19797  subgtgp  19801  tgpconcomp  19808  prdstgpd  19820  tsmssub  19848  tsmsxplem1  19852  tlmtgp  19895  nrginvrcn  20397
  Copyright terms: Public domain W3C validator