MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Unicode version

Theorem grpinvf 15895
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvf  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinveu 15885 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
5 riotacl 6258 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
)  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )  e.  B
)
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )  e.  B )
7 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
81, 2, 3, 7grpinvfval 15889 . 2  |-  N  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
96, 8fmptd 6043 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!wreu 2816   -->wf 5582   ` cfv 5586   iota_crio 6242  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859
This theorem is referenced by:  grpinvcl  15896  isgrpinv  15901  grpinvcnv  15907  grpinvf1o  15909  pwsinvg  15982  pwssub  15983  oppginv  16189  invoppggim  16190  symgtrinv  16293  invghm  16635  gsumzinv  16760  gsumzinvOLD  16761  dprdfinv  16849  dprdfinvOLD  16856  grpvlinv  18664  grpvrinv  18665  mdetralt  18877  istgp2  20325  symgtgp  20335  subgtgp  20339  tgpconcomp  20346  prdstgpd  20358  tsmssub  20386  tsmsxplem1  20390  tlmtgp  20433  nrginvrcn  20935
  Copyright terms: Public domain W3C validator