MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf Structured version   Unicode version

Theorem grpinvf 16418
Description: The group inversion operation is a function on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvf  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )

Proof of Theorem grpinvf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
41, 2, 3grpinveu 16408 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )
5 riotacl 6254 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
)  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G
) x )  =  ( 0g `  G
) )  e.  B
)
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) )  e.  B )
7 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
81, 2, 3, 7grpinvfval 16412 . 2  |-  N  =  ( x  e.  B  |->  ( iota_ y  e.  B  ( y ( +g  `  G ) x )  =  ( 0g `  G ) ) )
96, 8fmptd 6033 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E!wreu 2756   -->wf 5565   ` cfv 5569   iota_crio 6239  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382
This theorem is referenced by:  grpinvcl  16419  isgrpinv  16424  grpinvcnv  16430  grpinvf1o  16432  pwsinvg  16506  pwssub  16507  oppginv  16718  invoppggim  16719  symgtrinv  16821  invghm  17166  gsumzinv  17292  gsumzinvOLD  17293  dprdfinv  17379  dprdfinvOLD  17386  grpvlinv  19189  grpvrinv  19190  mdetralt  19402  istgp2  20882  symgtgp  20892  subgtgp  20896  tgpconcomp  20903  prdstgpd  20915  tsmssub  20943  tsmsxplem1  20947  tlmtgp  20990  nrginvrcn  21492
  Copyright terms: Public domain W3C validator