Theorem grpinveuNEW 17123

Description: The left inverse element of a group is unique. Lemma 2.2.1(b) of [Herstein] p. 55.

Hypotheses

Ref	Expression
grpinveu.1NEW	|- B = (base` G)
grpinveu.2NEW	|- P = (+g` G)
grpinveu.3NEW	|- U = (0g` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinveuNEW	|- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = U)

Distinct variable groups:   y,B   y,G   y,P   y,U   y,X

Proof of Theorem grpinveuNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinveu.1NEW	. . . . 5 |- B = (base` G)
2		grpinveu.2NEW	. . . . 5 |- P = (+g` G)
3		grpinveu.3NEW	. . . . 5 |- U = (0g` G)
4	1, 2, 3	grpidinv2NEW 17119	. . . 4 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (((UPX) = X /\ (XPU) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U)))
5		simpl 346	. . . . . 6 |- (((yPX) = U /\ (XPy) = U) -> (yPX) = U)
6	5	reximi 2198	. . . . 5 |- (E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U) -> E.y e. B (yPX) = U)
7	6	adantl 424	. . . 4 |- ((((UPX) = X /\ (XPU) = X) /\ E.y e. B ((yPX) = U /\ (XPy) = U)) -> E.y e. B (yPX) = U)
8	4, 7	syl 12	. . 3 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> E.y e. B (yPX) = U)
9	1, 2	grprcanNEW 17122	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G e. GrpNEW /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> ((yPX) = (zPX) <-> y = z))
10		eqtr3 1907	. . . . . . . . . . . 12 |- (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> (yPX) = (zPX))
11	9, 10	syl5bi 225	. . . . . . . . . . 11 |- ((G e. GrpNEW /\ (y e. B /\ z e. B /\ X e. B)) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
12	11	3exp2 1086	. . . . . . . . . 10 |- (G e. GrpNEW -> (y e. B -> (z e. B -> (X e. B -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z)))))
13	12	com24 41	. . . . . . . . 9 |- (G e. GrpNEW -> (X e. B -> (z e. B -> (y e. B -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z)))))
14	13	imp41 395	. . . . . . . 8 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ z e. B) /\ y e. B) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
15	14	an1rs 547	. . . . . . 7 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> (((yPX) = U /\ (zPX) = U) -> y = z))
16	15	exp3a 405	. . . . . 6 |- ((((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ y e. B) /\ z e. B) -> ((yPX) = U -> ((zPX) = U -> y = z)))
17	16	r19.21adva 2182	. . . . 5 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = U -> A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
18	17	ancld 322	. . . 4 |- (((G e. GrpNEW /\ X e. B) /\ y e. B) -> ((yPX) = U -> ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z))))
19	18	reximdva 2203	. . 3 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (E.y e. B (yPX) = U -> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z))))
20	8, 19	mpd 29	. 2 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
21		opreq1 4889	. . . 4 |- (y = z -> (yPX) = (zPX))
22	21	eqeq1d 1892	. . 3 |- (y = z -> ((yPX) = U <-> (zPX) = U))
23	22	reu8 2448	. 2 |- (E!y e. B (yPX) = U <-> E.y e. B ((yPX) = U /\ A.z e. B ((zPX) = U -> y = z)))
24	20, 23	sylibr 217	1 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = U)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  +_gcplusg 17080  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082

This theorem is referenced by:  grpinvclNEW 17127  grpinvNEW 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-struct 16708  df-grpNEW 17089  df-0g 17090

Copyright terms: Public domain