Theorem grpinvclNEW 17127

Description: X group element's inverse is a group element.

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.1NEW	|- B = (base` G)
grpinvcl.2NEW	|- P = (+g` G)
grpinvcl.3NEW	|- N = (-g` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinvclNEW	|- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (N` X) e. B)

Proof of Theorem grpinvclNEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.1NEW	. . 3 |- B = (base` G)
2		grpinvcl.2NEW	. . 3 |- P = (+g` G)
3		eqid 1884	. . 3 |- (0g` G) = (0g` G)
4		grpinvcl.3NEW	. . 3 |- N = (-g` G)
5	1, 2, 3, 4	grpinvvalNEW 17126	. 2 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (N` X) = (iotay(y e. B /\ (yPX) = (0g` G))))
6	1, 2, 3	grpinveuNEW 17123	. . 3 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> E!y e. B (yPX) = (0g` G))
7		reiotacl 5106	. . 3 |- (E!y e. B (yPX) = (0g` G) -> (iotay(y e. B /\ (yPX) = (0g` G))) e. B)
8	6, 7	syl 12	. 2 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (iotay(y e. B /\ (yPX) = (0g` G))) e. B)
9	5, 8	eqeltrd 1971	1 |- ((G e. GrpNEW /\ X e. B) -> (N` X) e. B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!wreu 2107  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  iotacio 5087  basecbs 16758  +_gcplusg 17080  GrpNEWcgrp 17081  0_gc0g 17082  -_gcminusg 17083

This theorem is referenced by:  grpinvNEW 17128  grpinvid1NEW 17131  grpinvid2NEW 17132  grplcanNEW 17134  invrcl 17171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-struct 16708  df-grpNEW 17089  df-0g 17090  df-minusg 17091

Copyright terms: Public domain