MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Structured version   Unicode version

Theorem grpinvcl 15893
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvf 15892 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
43ffvelrnda 6019 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586   Basecbs 14483   Grpcgrp 15720   invgcminusg 15721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856
This theorem is referenced by:  grprinv  15895  grpinvid1  15896  grpinvid2  15897  grplcan  15900  grpinvinv  15903  grpinvcnv  15904  grpinvnzcl  15908  grpsubinv  15909  grplmulf1o  15910  grpinvssd  15913  grpinvadd  15914  grpsubf  15915  grpsubrcan  15917  grpinvsub  15918  grpinvval2  15919  grpsubeq0  15922  grpsubadd  15924  grpaddsubass  15926  grpnpcan  15928  grplactcnv  15936  grpsubpropd2  15939  mulgcl  15956  mulgneg2  15966  prdsinvlem  15975  pwssub  15980  imasgrp  15983  subginv  16000  subginvcl  16002  issubg4  16012  grpissubg  16013  isnsg3  16027  subgacs  16028  nmzsubg  16034  eqger  16043  eqglact  16044  eqgcpbl  16047  divsgrp  16048  divsinv  16052  divssub  16053  ghminv  16066  ghmsub  16067  ghmrn  16072  ghmpreima  16080  ghmeql  16081  conjghm  16089  conjnmz  16092  galcan  16134  gacan  16135  gapm  16136  gaorber  16138  gastacl  16139  gastacos  16140  cntzsubg  16166  oppggrp  16184  symgsssg  16285  symgfisg  16286  odinv  16376  sylow2blem1  16433  sylow2blem3  16435  frgpuptf  16581  frgpuplem  16583  ablinvadd  16613  ablsub2inv  16614  ablsub4  16616  ablsubsub4  16622  mulgsubdi  16631  invghm  16632  eqgabl  16633  torsubg  16650  oddvdssubg  16651  cyggeninv  16674  rngnegl  17023  rngnegr  17024  rngmneg1  17025  rngmneg2  17026  rngm2neg  17027  rngsubdi  17028  rngsubdir  17029  dvdsrneg  17084  unitinvcl  17104  unitnegcl  17111  isdrng2  17186  cntzsubr  17241  abvneg  17263  abvsubtri  17264  lmodvnegcl  17331  lmodvneg1  17333  lmodvsneg  17334  lmodsubvs  17346  lmodsubdi  17347  lmodsubdir  17348  lssvsubcl  17370  lssvnegcl  17382  lspsnneg  17432  lmodvsinv  17462  lmodvsinv2  17463  lspexch  17555  lspsolvlem  17568  mplsubglem  17861  mplsubglemOLD  17863  mplind  17935  zrhpsgninv  18385  evpmodpmf1o  18396  dsmmsubg  18538  cpmatinvcl  18982  chpscmatgsumbin  19109  chpscmatgsummon  19110  tgplacthmeo  20334  tgpconcomp  20343  divstgpopn  20350  tsmsxplem1  20387  tlmtgp  20430  isngp4  20863  ngpinvds  20864  ngpsubcan  20865  nmtri  20877  ngptgp  20882  deg1suble  22240  deg1sub  22241  dchr2sum  23273  dchrisum0re  23423  ogrpinvOLD  27364  ogrpinv0le  27365  ogrpsub  27366  ogrpaddltbi  27368  ogrpaddltrbid  27370  ogrpinv0lt  27372  ogrpinvlt  27373  archirngz  27392  archiabllem1b  27395  archiabllem2c  27398  archiabllem2b  27399  orngsqr  27454  invginvrid  32025  lincext1  32128  lindslinindimp2lem1  32132  ldepsprlem  32146  ldepspr  32147  lincresunit3lem3  32148  lincresunit3lem1  32153  lincresunit3lem2  32154  lincresunit3  32155  lflsub  33864  lflnegcl  33872  ldualvsubcl  33953  ldualvsubval  33954  dvhgrp  35904  lcfrlem2  36340  lcdvsubval  36415  mapdpglem30  36499  baerlem3lem1  36504  baerlem5alem1  36505  baerlem5blem1  36506  baerlem5blem2  36509
  Copyright terms: Public domain W3C validator