MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Structured version   Unicode version

Theorem grpinvcl 15685
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  G )
31, 2grpinvf 15684 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
43ffvelrnda 5942 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516   Basecbs 14276   Grpcgrp 15512   invgcminusg 15513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648
This theorem is referenced by:  grprinv  15687  grpinvid1  15688  grpinvid2  15689  grplcan  15692  grpinvinv  15695  grpinvcnv  15696  grpinvnzcl  15700  grpsubinv  15701  grplmulf1o  15702  grpinvssd  15705  grpinvadd  15706  grpsubf  15707  grpsubrcan  15709  grpinvsub  15710  grpinvval2  15711  grpsubeq0  15714  grpsubadd  15715  grpaddsubass  15717  grpnpcan  15719  grplactcnv  15726  grpsubpropd2  15729  mulgcl  15746  mulgneg2  15756  prdsinvlem  15765  pwssub  15770  imasgrp  15773  subginv  15790  subginvcl  15792  issubg4  15802  grpissubg  15803  isnsg3  15817  subgacs  15818  nmzsubg  15824  eqger  15833  eqglact  15834  eqgcpbl  15837  divsgrp  15838  divsinv  15842  divssub  15843  ghminv  15856  ghmsub  15857  ghmrn  15862  ghmpreima  15870  ghmeql  15871  conjghm  15879  conjnmz  15882  galcan  15924  gacan  15925  gapm  15926  gaorber  15928  gastacl  15929  gastacos  15930  cntzsubg  15956  oppggrp  15974  symgsssg  16075  symgfisg  16076  odinv  16166  sylow2blem1  16223  sylow2blem3  16225  frgpuptf  16371  frgpuplem  16373  ablinvadd  16403  ablsub2inv  16404  ablsub4  16406  ablsubsub4  16412  mulgsubdi  16421  invghm  16422  eqgabl  16423  torsubg  16440  oddvdssubg  16441  cyggeninv  16464  rngnegl  16791  rngnegr  16792  rngmneg1  16793  rngmneg2  16794  rngm2neg  16795  rngsubdi  16796  rngsubdir  16797  dvdsrneg  16852  unitinvcl  16872  unitnegcl  16879  isdrng2  16948  cntzsubr  17003  abvneg  17025  abvsubtri  17026  lmodvnegcl  17092  lmodvneg1  17094  lmodvsneg  17095  lmodsubvs  17107  lmodsubdi  17108  lmodsubdir  17109  lssvsubcl  17131  lssvnegcl  17143  lspsnneg  17193  lmodvsinv  17223  lmodvsinv2  17224  lspexch  17316  lspsolvlem  17329  mplsubglem  17617  mplsubglemOLD  17619  mplind  17691  zrhpsgninv  18124  evpmodpmf1o  18135  dsmmsubg  18277  tgplacthmeo  19790  tgpconcomp  19799  divstgpopn  19806  tsmsxplem1  19843  tlmtgp  19886  isngp4  20319  ngpinvds  20320  ngpsubcan  20321  nmtri  20333  ngptgp  20338  deg1suble  21695  deg1sub  21696  dchr2sum  22728  dchrisum0re  22878  ogrpinvOLD  26312  ogrpinv0le  26313  ogrpsub  26314  ogrpaddltbi  26316  ogrpaddltrbid  26318  ogrpinv0lt  26320  ogrpinvlt  26321  archirngz  26340  archiabllem1b  26343  archiabllem2c  26346  archiabllem2b  26347  orngsqr  26406  invginvrid  30910  lincext1  31095  lindslinindimp2lem1  31099  ldepsprlem  31113  ldepspr  31114  lincresunit3lem3  31115  lincresunit3lem1  31120  lincresunit3lem2  31121  lincresunit3  31122  cpmatinvcl  31180  cpscmatgsumbin  31298  cpscmatgsummon  31299  lflsub  33018  lflnegcl  33026  ldualvsubcl  33107  ldualvsubval  33108  dvhgrp  35058  lcfrlem2  35494  lcdvsubval  35569  mapdpglem30  35653  baerlem3lem1  35658  baerlem5alem1  35659  baerlem5blem1  35660  baerlem5blem2  35663
  Copyright terms: Public domain W3C validator