MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcl Unicode version

Theorem grpinvcl 14805
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvcl.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )

Proof of Theorem grpinvcl
StepHypRef Expression
1 grpinvcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpinvcl.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  G )
31, 2grpinvf 14804 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N : B --> B )
43ffvelrnda 5829 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   Basecbs 13424   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641
This theorem is referenced by:  grprinv  14807  grpinvid1  14808  grpinvid2  14809  grplcan  14812  grpinvinv  14813  grpinvcnv  14814  grpinvnzcl  14818  grpsubinv  14819  grplmulf1o  14820  grpinvadd  14822  grpsubf  14823  grpsubrcan  14825  grpinvsub  14826  grpinvval2  14827  grpsubeq0  14830  grpsubadd  14831  grpaddsubass  14833  grpnpcan  14835  grplactcnv  14842  grpsubpropd2  14845  mulgcl  14862  mulgneg2  14872  prdsinvlem  14881  pwssub  14886  imasgrp  14889  subginv  14906  subginvcl  14908  issubg4  14916  isnsg3  14929  subgacs  14930  nmzsubg  14936  eqger  14945  eqglact  14946  eqgcpbl  14949  divsgrp  14950  divsinv  14954  divssub  14955  ghminv  14968  ghmsub  14969  ghmrn  14974  ghmpreima  14982  ghmeql  14983  conjghm  14991  conjnmz  14994  galcan  15036  gacan  15037  gapm  15038  gaorber  15040  gastacl  15041  gastacos  15042  cntzsubg  15090  oppggrp  15108  odinv  15152  sylow2blem1  15209  sylow2blem3  15211  frgpuptf  15357  frgpuplem  15359  ablinvadd  15389  ablsub2inv  15390  ablsub4  15392  ablsubsub4  15398  mulgsubdi  15407  invghm  15408  eqgabl  15409  torsubg  15424  oddvdssubg  15425  cyggeninv  15448  rngnegl  15658  rngnegr  15659  rngmneg1  15660  rngmneg2  15661  rngm2neg  15662  rngsubdi  15663  rngsubdir  15664  dvdsrneg  15714  unitinvcl  15734  unitnegcl  15741  isdrng2  15800  cntzsubr  15855  abvneg  15877  abvsubtri  15878  lmodvnegcl  15940  lmodvneg1  15942  lmodvsneg  15943  lmodsubvs  15955  lmodsubdi  15956  lmodsubdir  15957  lssvsubcl  15975  lssvnegcl  15987  lspsnneg  16037  lmodvsinv  16067  lmodvsinv2  16068  lspexch  16156  lspsolvlem  16169  mplsubglem  16453  mplind  16517  tgplacthmeo  18086  tgpconcomp  18095  divstgpopn  18102  tsmsxplem1  18135  tlmtgp  18178  isngp4  18611  ngpinvds  18612  ngpsubcan  18613  nmtri  18625  ngptgp  18630  deg1suble  19983  deg1sub  19984  dchr2sum  21010  dchrisum0re  21160  ofldsqr  24193  dsmmsubg  27077  symgsssg  27276  symgfisg  27277  lflsub  29550  lflnegcl  29558  ldualvsubcl  29639  ldualvsubval  29640  dvhgrp  31590  lcfrlem2  32026  lcdvsubval  32101  mapdpglem30  32185  baerlem3lem1  32190  baerlem5alem1  32191  baerlem5blem1  32192  baerlem5blem2  32195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768
  Copyright terms: Public domain W3C validator