Theorem grpinvcl 9352

Description: A group element's inverse is a group element.

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcl.1	|- X = ran G
grpinvcl.2	|- N = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcl	|- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)

Proof of Theorem grpinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcl.1	. . 3 |- X = ran G
2		eqid 1884	. . 3 |- (Id` G) = (Id` G)
3		grpinvcl.2	. . 3 |- N = (inv` G)
4	1, 2, 3	grpinvval 9351	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) = U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)})
5	1, 2	grpinveu 9348	. . 3 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> E!y e. X (yGA) = (Id` G))
6		reucl 3213	. . 3 |- (E!y e. X (yGA) = (Id` G) -> U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)} e. X)
7	5, 6	syl 12	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> U.{y e. X | (yGA) = (Id` G)} e. X)
8	4, 7	eqeltrd 1971	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (N` A) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!wreu 2107  {crab 2108  U.cuni 3177  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Grpcgr 9311  Idcgi 9312  invcgn 9313

This theorem is referenced by:  grpinv 9353  grpinvid1 9356  grpinvid2 9357  grplcan 9359  grpasscan1 9361  grpasscan2 9362  grp2inv 9363  grpinvf 9364  grpinvop 9365  grpdivinv 9368  grpinvdiv 9369  grpdivf 9370  grpmuldivass 9373  grpnpcan 9376  grppnpcan2 9377  grpnnncan2 9378  gxcl 9388  gxcom 9392  gxinv 9393  gxinv2 9394  gxsuc 9395  grplactf1o 9406  abldivdiv4 9417  ghgrpilem3 9443  gacan 9460  gapm 9462  vcm 9522  ghomgrpilem2 13629  ghomf1olem 13637  ablinvop 14714  grpdrcan 14738  grpdlcan 14739  grpdivzer 14740  fprodneg 14741  fprodsub 14742  trran2 14757  rnginvcl 14770  multinv 14771  multinvb 14772  mult2inv 14773  claddinvvec 14803  muldisc 14824  topgrpsubcnlem 14981  ringnegcl 16098  isdivrng2 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318

Copyright terms: Public domain