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Theorem grpinvadd 15607
Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grpinvadd.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
grpinvadd  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )

Proof of Theorem grpinvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
3 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 grpinvadd.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 grpinvadd.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  G )
64, 5grpinvcl 15586 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
763adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
84, 5grpinvcl 15586 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
983adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 grpinvadd.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
114, 10grpcl 15554 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  Y )  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B )  ->  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )
121, 7, 9, 11syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B )
134, 10grpass 15555 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
)  e.  B ) )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) ) )
141, 2, 3, 12, 13syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
164, 10, 15, 5grprinv 15588 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
17163adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( N `  Y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
1817oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( N `  X ) ) )
194, 10grpass 15555 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  ( N `  Y
)  e.  B  /\  ( N `  X )  e.  B ) )  ->  ( ( Y 
.+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `  X ) )  =  ( Y 
.+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )
201, 3, 7, 9, 19syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( Y  .+  ( N `  Y ) )  .+  ( N `
 X ) )  =  ( Y  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) ) )
214, 10, 15grplid 15571 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( N `  X )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
221, 9, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( N `  X )
)  =  ( N `
 X ) )
2318, 20, 223eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( N `  X ) )
2423oveq2d 6110 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) ) )  =  ( X  .+  ( N `  X )
) )
254, 10, 15, 5grprinv 15588 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
26253adant3 1008 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( N `  X )
)  =  ( 0g
`  G ) )
2714, 24, 263eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
284, 10grpcl 15554 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
294, 10, 15, 5grpinvid1 15589 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  (
( N `  Y
)  .+  ( N `  X ) )  e.  B )  ->  (
( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
301, 28, 12, 29syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y ) 
.+  ( N `  X ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )  =  ( 0g `  G ) ) )
3127, 30mpbird 232 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   0gc0g 14381   Grpcgrp 15413   invgcminusg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-0g 14383  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549
This theorem is referenced by:  grpinvsub  15611  mulgdir  15655  eqger  15734  eqgcpbl  15738  invoppggim  15878  sylow2blem1  16122  lsmsubg  16156  ablinvadd  16302  ablsub2inv  16303  invghm  16321  archiabllem2b  26216  rdivmuldivd  26262  dvrcan5  26264
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