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Theorem grpidpropd 15462
Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same identity element. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
mndpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mndpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
grpidpropd  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem grpidpropd
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndpropd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
21eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  <-> 
( x ( +g  `  L ) y )  =  y ) )
31proplem 14643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z ( +g  `  K ) w )  =  ( z ( +g  `  L ) w ) )
43proplem 14643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
54ancom2s 800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  K ) x )  =  ( y ( +g  `  L ) x ) )
65eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  K ) x )  =  y  <-> 
( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) )
72, 6anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
87anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
98ralbidva 2746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K ) x )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) )
109pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
11 mndpropd.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
1211eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  K
) ) )
1311raleqdv 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )
1412, 13anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) ) )
15 mndpropd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1615eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  L
) ) )
1715raleqdv 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
1816, 17anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
1910, 14, 183bitr3d 283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) ) )
2019iotabidv 5417 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )  =  ( iota x
( x  e.  (
Base `  L )  /\  A. y  e.  (
Base `  L )
( ( x ( +g  `  L ) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L ) x )  =  y ) ) ) )
21 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
22 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
23 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
2421, 22, 23grpidval 15447 . 2  |-  ( 0g
`  K )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  K )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( x ( +g  `  K
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  K
) x )  =  y ) ) )
25 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
26 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
27 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
2825, 26, 27grpidval 15447 . 2  |-  ( 0g
`  L )  =  ( iota x ( x  e.  ( Base `  L )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( x ( +g  `  L
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  L
) x )  =  y ) ) )
2920, 24, 283eqtr4g 2500 1  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   iotacio 5394   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   0gc0g 14393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fv 5441  df-ov 6109  df-0g 14395
This theorem is referenced by:  mhmpropd  15485  gsumpropd  15519  gsumpropd2lem  15520  grppropd  15571  grpinvpropd  15616  mulgpropd  15675  prds1  16721  rngidpropd  16802  drngprop  16858  drngpropd  16874  abvpropd  16942  lbspropd  17195  sralmod0  17284  opsr0  17687  mplbaspropd  17706  ply1mpl0  17725  phlpropd  18099  mat0  18333  nmpropd  20201  nmpropd2  20202  tng0  20244  mdegpropd  21570  ply1divalg2  21625  resv0g  26319  zlm0  26406  hlhils0  35612  hlhil0  35622
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