MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpidcl Structured version   Unicode version

Theorem grpidcl 15668
Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpidcl  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem grpidcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15652 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpidcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpidcl.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3mndidcl 15541 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516   Basecbs 14276   0gc0g 14480   Mndcmnd 15511   Grpcgrp 15512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647
This theorem is referenced by:  grpbn0  15669  grprcan  15673  grpid  15675  isgrpid2  15676  grprinv  15687  grpinvid  15691  grpidrcan  15693  grpidlcan  15694  grpidssd  15704  grpinvval2  15711  grpsubid1  15713  mulgcl  15746  mulgz  15750  imasgrp  15773  subg0  15789  subg0cl  15791  issubg4  15802  0subg  15808  nmzsubg  15824  eqgid  15835  divsgrp  15838  divs0  15841  ghmid  15855  ghmpreima  15870  ghmf1  15877  gafo  15916  gaid  15919  gass  15921  gaorber  15928  gastacl  15929  lactghmga  16011  cayleylem2  16020  symgsssg  16075  symgfisg  16076  od1  16164  gexdvds  16187  sylow1lem2  16202  sylow3lem1  16230  lsmdisj2  16283  0frgp  16380  odadd1  16434  torsubg  16440  oddvdssubg  16441  0cyg  16473  prmcyg  16474  dprdfadd  16615  dprdfaddOLD  16622  dprdz  16632  pgpfac1lem3a  16682  rng0cl  16772  rnglz  16787  rngrz  16788  kerf1hrm  16937  isdrng2  16948  srng0  17051  lmod0vcl  17083  islmhm2  17225  psr0cl  17571  mplsubglem  17617  mplsubglemOLD  17619  evl1gsumd  17900  frgpcyg  18115  ip0l  18174  ocvlss  18206  grpvlinv  18404  mdetdiag  18521  mdetuni0  18543  istgp2  19778  cldsubg  19797  tgpconcompeqg  19798  tgpconcomp  19799  snclseqg  19802  tgphaus  19803  tgpt1  19804  divstgphaus  19809  tgptsmscls  19840  nrmmetd  20283  nmfval2  20299  nmval2  20300  nmf2  20301  ngpds3  20315  nmge0  20324  nmeq0  20325  nminv  20328  nmmtri  20329  nmrtri  20331  nm0  20334  tngnm  20353  idnghm  20438  nmcn  20537  nmoleub2lem2  20787  mdeg0  21657  dchrinv  22716  dchr1re  22718  dchrpt  22722  dchrsum2  22723  dchrhash  22726  rpvmasumlem  22852  rpvmasum2  22877  dchrisum0re  22878  ogrpinvOLD  26312  ogrpinv0lt  26320  ogrpinvlt  26321  isarchi3  26338  archirng  26339  archirngz  26340  archiabllem1b  26343  orngsqr  26406  ornglmulle  26407  orngrmulle  26408  ornglmullt  26409  orngrmullt  26410  orngmullt  26411  ofldchr  26416  isarchiofld  26419  qqh0  26547  sconpi1  27262  telescgsum  30955  ascl0  30959  evl1at0  30995  mat0dim0  31017  scmatsubcl  31038  cpdmatlem2  31293  cp0mat  31300  lfl0f  33020  lkrlss  33046  lshpkrlem1  33061  lkrin  33115  dvhgrp  35058
  Copyright terms: Public domain W3C validator