Theorem grpdivf 8204

Description: Mapping for group division.

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	|- X = ran G
grpdivf.3	|- D = ( /g ` G)

Assertion

Ref	Expression
grpdivf	|- (G e. Grp -> D:(X X. X)-->X)

Proof of Theorem grpdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . . . . . 7 |- X = ran G
2	1	grpcl 8164	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ x e. X /\ ((inv` G)` y) e. X) -> (xG((inv` G)` y)) e. X)
3		eqid 1512	. . . . . . . 8 |- (inv` G) = (inv` G)
4	1, 3	grpinvcl 8187	. . . . . . 7 |- ((G e. Grp /\ y e. X) -> ((inv` G)` y) e. X)
5	4	3adant2 801	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ x e. X /\ y e. X) -> ((inv` G)` y) e. X)
6	2, 5	syld3an3 873	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ x e. X /\ y e. X) -> (xG((inv` G)` y)) e. X)
7	6	3expib 839	. . . 4 |- (G e. Grp -> ((x e. X /\ y e. X) -> (xG((inv` G)` y)) e. X))
8	7	r19.21aivv 1758	. . 3 |- (G e. Grp -> A.x e. X A.y e. X (xG((inv` G)` y)) e. X)
9		eqid 1512	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))}
10	9	foprab2 4199	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. X (xG((inv` G)` y)) e. X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))}:(X X. X)-->X)
11	8, 10	sylib 196	. 2 |- (G e. Grp -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))}:(X X. X)-->X)
12		grpdivf.3	. . . 4 |- D = ( /g ` G)
13	1, 3, 12	grpdivfval 8200	. . 3 |- (G e. Grp -> D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))})
14	13	feq1d 3699	. 2 |- (G e. Grp -> (D:(X X. X)-->X <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. X) /\ z = (xG((inv` G)` y)))}:(X X. X)-->X))
15	11, 14	mpbird 194	1 |- (G e. Grp -> D:(X X. X)-->X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683   X. cxp 3223  ran crn 3226  -->wf 3233  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  {copab2 4040  Grpcgr 8153  invcgn 8155   /g cgs 8156

This theorem is referenced by:  grpdivcl 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-fo 3251  df-fv 3253  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-grp 8157  df-gid 8158  df-ginv 8159  df-gdiv 8160

Copyright terms: Public domain