Theorem grpcl 9324

Description: Closure law for a group operation.

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4965	. 2 |- ((G:(X X. X)-->X /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
2		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
3	2	grpfo 9323	. . 3 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-onto->X)
4		fof 4617	. . 3 |- (G:(X X. X)-onto->X -> G:(X X. X)-->X)
5	3, 4	syl 12	. 2 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-->X)
6	1, 5	syl3an1 1130	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   X. cxp 3984  ran crn 3987  -->wf 3994  -onto->wfo 3996  (class class class)co 4884  Grpcgr 9311

This theorem is referenced by:  grpidinvlem2 9329  grpidinvlem3 9330  grpinvop 9365  grpdivf 9370  grpmuldivass 9373  grppnpcan2 9377  gxcl 9388  gxcom 9392  grplactf1o 9406  abl4 9413  gxdi 9422  ghgrpilem3 9443  ghgrpilem4 9444  ghsubgi 9446  gaid 9454  ringgcl 9477  vcgcl 9510  nvgcl 9571  ghomgrpilem2 13629  ghomsn 13631  ghomf1olem 13637  cayleylem2 13642  curgrpact 14735  trran2 14757  sum2vv 14805  abl4pnp 16037  ghomco 16040  divrngcl 16110  iscringd 16147

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-grp 9316

Copyright terms: Public domain