MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpcl Structured version   Unicode version

Theorem grpcl 15873
Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15872 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndcl 15737 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1261 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6287  df-mnd 15732  df-grp 15867
This theorem is referenced by:  grprcan  15893  grprinv  15907  grplmulf1o  15922  grpinvadd  15926  grpsubf  15927  grpsubadd  15936  grpaddsubass  15938  grpnpcan  15940  grpsubsub4  15941  grppnpcan2  15942  grplactcnv  15948  mulgcl  15969  mulgdir  15977  imasgrp  15996  subgcl  16016  grpissubg  16026  nsgacs  16042  nmzsubg  16047  nsgid  16052  eqger  16056  eqgcpbl  16060  divsgrp  16061  divsadd  16063  ghmrn  16085  idghm  16087  ghmpreima  16093  ghmnsgima  16095  ghmnsgpreima  16096  ghmf1o  16101  conjghm  16102  conjnmz  16105  divsghm  16108  gaid  16142  subgga  16143  gass  16144  gaorber  16151  gastacl  16152  gastacos  16153  cntzsubg  16179  galactghm  16233  lactghmga  16234  symgsssg  16298  symgfisg  16299  symggen  16301  sylow1lem2  16425  sylow2blem1  16446  sylow2blem2  16447  sylow2blem3  16448  sylow3lem1  16453  sylow3lem2  16454  subgdisj1  16515  ablsub4  16629  abladdsub4  16630  mulgdi  16641  mulgghm  16643  invghm  16645  ghmplusg  16655  odadd1  16657  odadd2  16658  odadd  16659  gex2abl  16660  gexexlem  16661  torsubg  16663  oddvdssubg  16664  frgpnabllem2  16681  rngacl  17027  rngpropd  17031  drngmcl  17209  abvtrivd  17289  idsrngd  17311  lmodacl  17323  lmodvacl  17326  lmodprop2d  17372  prdslmodd  17415  pwssplit2  17506  asclghm  17786  psraddcl  17835  mplind  17966  evlslem1  17983  evl1addd  18176  evpmodpmf1o  18427  scmataddcl  18813  mdetralt  18905  mdetunilem6  18914  opnsubg  20369  ghmcnp  20376  divstgpopn  20381  ngprcan  20892  nmotri  21009  abvcxp  23556  ttgcontlem1  23892  abliso  27376  ogrpaddltbi  27399  ogrpaddltrbid  27401  ogrpinvlt  27404  archiabllem2a  27428  archiabllem2c  27429  archiabllem2b  27430  dvrdir  27471  gicabl  30679  isnumbasgrplem2  30685  mendlmod  30775
  Copyright terms: Public domain W3C validator