MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Unicode version

Theorem grpbn0 15565
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 15564 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3641 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   (/)c0 3635   ` cfv 5416   Basecbs 14172   0gc0g 14376   Grpcgrp 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543
This theorem is referenced by:  grpn0  15568  issubg2  15694  grpissubg  15699  ghmrn  15758  gexcl3  16084  gexcl2  16086  sylow1lem1  16095  sylow1lem3  16097  sylow1lem5  16099  pgpfi  16102  pgpfi2  16103  sylow2blem3  16119  slwhash  16121  fislw  16122  gexex  16333  lt6abl  16369  ablfac1lem  16567  ablfac1b  16569  ablfac1c  16570  ablfac1eu  16572  pgpfac1lem2  16574  pgpfac1lem3a  16575  ablfaclem3  16586  dvdsr02  16746  lmodbn0  16956  lmodsn0  16959  islss3  17038  dfacbasgrp  29461  0rngnnzr  30775
  Copyright terms: Public domain W3C validator