MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Unicode version

Theorem grpbn0 16205
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2457 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 16204 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3799 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   (/)c0 3793   ` cfv 5594   Basecbs 14643   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183
This theorem is referenced by:  grpn0  16208  issubg2  16342  grpissubg  16347  ghmrn  16406  gexcl3  16733  gexcl2  16735  sylow1lem1  16744  sylow1lem3  16746  sylow1lem5  16748  pgpfi  16751  pgpfi2  16752  sylow2blem3  16768  slwhash  16770  fislw  16771  gexex  16985  lt6abl  17023  ablfac1lem  17245  ablfac1b  17247  ablfac1c  17248  ablfac1eu  17250  pgpfac1lem2  17252  pgpfac1lem3a  17253  ablfaclem3  17264  dvdsr02  17431  lmodbn0  17648  lmodsn0  17651  islss3  17731  0ringnnzr  18043  dfacbasgrp  31219
  Copyright terms: Public domain W3C validator