MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Unicode version

Theorem grpbn0 15877
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
grpbn0  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
31, 2grpidcl 15876 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
4 ne0i 3791 . 2  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
53, 4syl 16 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3785   ` cfv 5586   Basecbs 14483   0gc0g 14688   Grpcgrp 15720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855
This theorem is referenced by:  grpn0  15880  issubg2  16008  grpissubg  16013  ghmrn  16072  gexcl3  16400  gexcl2  16402  sylow1lem1  16411  sylow1lem3  16413  sylow1lem5  16415  pgpfi  16418  pgpfi2  16419  sylow2blem3  16435  slwhash  16437  fislw  16438  gexex  16649  lt6abl  16685  ablfac1lem  16906  ablfac1b  16908  ablfac1c  16909  ablfac1eu  16911  pgpfac1lem2  16913  pgpfac1lem3a  16914  ablfaclem3  16925  dvdsr02  17086  lmodbn0  17302  lmodsn0  17305  islss3  17385  dfacbasgrp  30661  0rngnnzr  32031
  Copyright terms: Public domain W3C validator