MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbasex Structured version   Unicode version

Theorem grpbasex 14721
Description: The base of an explicitly given group. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use grpbase 14718 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 17-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
grpstrx.b  |-  B  e. 
_V
grpstrx.p  |-  .+  e.  _V
grpstrx.g  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
Assertion
Ref Expression
grpbasex  |-  B  =  ( Base `  G
)

Proof of Theorem grpbasex
StepHypRef Expression
1 grpstrx.b . 2  |-  B  e. 
_V
2 grpstrx.g . . . 4  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
3 basendx 14663 . . . . . 6  |-  ( Base `  ndx )  =  1
43opeq1i 4205 . . . . 5  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  =  <. 1 ,  B >.
5 plusgndx 14712 . . . . . 6  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
65opeq1i 4205 . . . . 5  |-  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >.  =  <. 2 ,  .+  >.
74, 6preq12i 4099 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. }  =  { <. 1 ,  B >. , 
<. 2 ,  .+  >. }
82, 7eqtr4i 2475 . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. }
98grpbase 14718 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  B  =  ( Base `  G
) )
101, 9ax-mp 5 1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {cpr 4016   <.cop 4020   ` cfv 5578   1c1 9496   2c2 10592   ndxcnx 14610   Basecbs 14613   +g cplusg 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-plusg 14691
This theorem is referenced by:  isgrpix  16055  cnaddablx  16852  zaddablx  16854
  Copyright terms: Public domain W3C validator