MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpass Structured version   Unicode version

Theorem grpass 16631
Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem grpass
StepHypRef Expression
1 grpmnd 16629 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndass 16497 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
51, 4sylan 473 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   Mndcmnd 16486   Grpcgrp 16620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624
This theorem is referenced by:  grprcan  16650  grprinv  16664  grpinvid1  16665  grpinvid2  16666  grplcan  16669  grplmulf1o  16679  grpinvadd  16683  grpsubadd  16693  grpaddsubass  16695  grpsubsub4  16698  grplactcnv  16705  mulgdirlem  16733  imasgrp  16753  issubg2  16783  isnsg3  16802  nmzsubg  16809  ssnmz  16810  eqger  16818  eqgcpbl  16822  qusgrp  16823  conjghm  16864  conjnmz  16867  subgga  16905  cntzsubg  16941  sylow1lem2  17186  sylow2blem1  17207  sylow2blem2  17208  sylow2blem3  17209  sylow3lem1  17214  sylow3lem2  17215  lsmass  17255  lsmmod  17260  lsmdisj2  17267  gex2abl  17424  ringcom  17744  lmodass  18041  psrgrp  18557  evpmodpmf1o  19095  ghmcnp  21060  qustgpopn  21065  ogrpaddltbi  28320  ogrpaddltrbid  28322  ogrpinvlt  28325  archiabllem2c  28350  lfladdass  32348  dvhvaddass  34374
  Copyright terms: Public domain W3C validator