MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpass Structured version   Unicode version

Theorem grpass 15874
Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
grpass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem grpass
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15872 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grpcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mndass 15738 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
51, 4sylan 471 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6287  df-mnd 15732  df-grp 15867
This theorem is referenced by:  grprcan  15893  grprinv  15907  grpinvid1  15908  grpinvid2  15909  grplcan  15912  grplmulf1o  15922  grpinvadd  15926  grpsubadd  15936  grpaddsubass  15938  grpsubsub4  15941  grplactcnv  15948  mulgdirlem  15976  imasgrp  15996  issubg2  16021  isnsg3  16040  nmzsubg  16047  ssnmz  16048  eqger  16056  eqgcpbl  16060  divsgrp  16061  conjghm  16102  conjnmz  16105  subgga  16143  cntzsubg  16179  sylow1lem2  16425  sylow2blem1  16446  sylow2blem2  16447  sylow2blem3  16448  sylow3lem1  16453  sylow3lem2  16454  lsmass  16494  lsmmod  16499  lsmdisj2  16506  gex2abl  16660  rngcom  17028  lmodass  17327  psrgrp  17850  evpmodpmf1o  18427  ghmcnp  20376  divstgpopn  20381  ogrpaddltbi  27399  ogrpaddltrbid  27401  ogrpinvlt  27404  archiabllem2c  27429  lfladdass  33888  dvhvaddass  35912
  Copyright terms: Public domain W3C validator