Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grp1 Structured version   Unicode version

Theorem grp1 15952
 Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
grp1.m
Assertion
Ref Expression
grp1

Proof of Theorem grp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grp1.m . . 3
21mnd1 15780 . 2
3 df-ov 6287 . . . . 5
4 opex 4711 . . . . . 6
5 fvsng 6095 . . . . . 6
64, 5mpan 670 . . . . 5
73, 6syl5eq 2520 . . . 4
8 snidg 4053 . . . . 5
97, 7jca 532 . . . . . 6
10 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
11 id 22 . . . . . . . . 9
1210, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . 8
13 oveq1 6291 . . . . . . . . 9
1413, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . 8
1512, 14anbi12d 710 . . . . . . 7
1615ralsng 4062 . . . . . 6
179, 16mpbird 232 . . . . 5
18 snex 4688 . . . . . . 7
191grpbase 14595 . . . . . . 7
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6
21 eqid 2467 . . . . . 6
22 snex 4688 . . . . . . 7
231grpplusg 14596 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
25 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11
27 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12
2827eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
3029ralbidv 2903 . . . . . . . . 9
3130rexsng 4063 . . . . . . . 8
3231, 16bitrd 253 . . . . . . 7
339, 32mpbird 232 . . . . . 6
3420, 21, 24, 33ismgmid 15752 . . . . 5
358, 17, 34mpbi2and 919 . . . 4
367, 35eqtr4d 2511 . . 3
37 oveq2 6292 . . . . . . 7
3837eqeq1d 2469 . . . . . 6
3938rexbidv 2973 . . . . 5
4039ralsng 4062 . . . 4
41 oveq1 6291 . . . . . 6
4241eqeq1d 2469 . . . . 5
4342rexsng 4063 . . . 4
4440, 43bitrd 253 . . 3
4536, 44mpbird 232 . 2
4620, 24, 21isgrp 15871 . 2
472, 45, 46sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113  csn 4027  cpr 4029  cop 4033  cfv 5588  (class class class)co 6284  cnx 14487  cbs 14490   cplusg 14555  c0g 14695  cmnd 15726  cgrp 15727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867 This theorem is referenced by:  abl1  16675  rng1  17049  lmod1  32192
 Copyright terms: Public domain W3C validator