MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grp1 Structured version   Unicode version

Theorem grp1 15952
Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
grp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
grp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Grp )

Proof of Theorem grp1
Dummy variables  b 
e  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mnd1 15780 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
3 df-ov 6287 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opex 4711 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
5 fvsng 6095 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
64, 5mpan 670 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
73, 6syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
8 snidg 4053 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
97, 7jca 532 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I ) )
10 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
11 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  I  ->  b  =  I )
1210, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
13 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  I  ->  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1413, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
1512, 14anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
1615ralsng 4062 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. b  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
179, 16mpbird 232 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  A. b  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b ) )
18 snex 4688 . . . . . . 7  |-  { I }  e.  _V
191grpbase 14595 . . . . . . 7  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { I }  =  ( Base `  M )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
22 snex 4688 . . . . . . 7  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
231grpplusg 14596 . . . . . . 7  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
25 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
i { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) )
2625eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  (
( i { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b ) )
27 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2827eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  (
( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b  <->  ( b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  b ) )
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( i {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  b ) ) )
3029ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  ( A. b  e.  { I }  ( ( i { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b )  <->  A. b  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b ) ) )
3130rexsng 4063 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. i  e.  { I } A. b  e.  {
I }  ( ( i { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b )  <->  A. b  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b ) ) )
3231, 16bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. i  e.  { I } A. b  e.  {
I }  ( ( i { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b )  <-> 
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I  /\  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I ) ) )
339, 32mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  E. i  e.  { I } A. b  e.  { I }  ( ( i { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  b ) )
3420, 21, 24, 33ismgmid 15752 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  e.  {
I }  /\  A. b  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  b  /\  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  b ) )  <-> 
( 0g `  M
)  =  I ) )
358, 17, 34mpbi2and 919 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )
367, 35eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) )
37 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
3837eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g `  M )  <->  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
3938rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  E. e  e.  { I }  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) ) )
4039ralsng 4062 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. i  e.  { I } E. e  e.  {
I }  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  E. e  e.  { I }  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) ) )
41 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
4241eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( e  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
4342rexsng 4063 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
4440, 43bitrd 253 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. i  e.  { I } E. e  e.  {
I }  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
4536, 44mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. i  e.  { I } E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M ) )
4620, 24, 21isgrp 15871 . 2  |-  ( M  e.  Grp  <->  ( M  e.  Mnd  /\  A. i  e.  { I } E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M ) ) )
472, 45, 46sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ndxcnx 14487   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867
This theorem is referenced by:  abl1  16675  rng1  17049  lmod1  32192
  Copyright terms: Public domain W3C validator