Theorem grothpwex 10135

Description: Derive the Axiom of Power Sets from the Tarksi-Grothendieck axiom ax-groth 10131. Note that ax-pow 3481 is not used by the proof. Use axpweq 3480 to obtain ax-pow 3481.

Assertion

Ref	Expression
grothpwex	|- ~Px e. _V

Proof of Theorem grothpwex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth5 10132	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y))
2		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) -> ~Pz C_ y)
3	2	ralimi 2168	. . . . . . 7 |- (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) -> A.z e. y ~Pz C_ y)
4		pweq 3036	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> ~Pz = ~Px)
5	4	sseq1d 2644	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (~Pz C_ y <-> ~Px C_ y))
6	5	rcla4cv 2377	. . . . . . 7 |- (A.z e. y ~Pz C_ y -> (x e. y -> ~Px C_ y))
7	3, 6	syl 12	. . . . . 6 |- (A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) -> (x e. y -> ~Px C_ y))
8	7	anim2i 362	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w)) -> (x e. y /\ (x e. y -> ~Px C_ y)))
9	8	3adant3 896	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)) -> (x e. y /\ (x e. y -> ~Px C_ y)))
10		pm3.35 386	. . . 4 |- ((x e. y /\ (x e. y -> ~Px C_ y)) -> ~Px C_ y)
11		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
12	11	ssex 3455	. . . 4 |- (~Px C_ y -> ~Px e. _V)
13	9, 10, 12	3syl 24	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)) -> ~Px e. _V)
14	13	19.23aiv 1674	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y (~Pz C_ y /\ E.w e. y ~Pz C_ w) /\ A.z e. ~P y(z ~~ y \/ z e. y)) -> ~Px e. _V)
15	1, 14	ax-mp 7	1 |- ~Px e. _V

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  intartar 15255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-groth 10131

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035

Copyright terms: Public domain