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Theorem grothpw 9133
Description: Derive the Axiom of Power Sets ax-pow 4556 from the Tarski-Grothendieck axiom ax-groth 9130. That it follows is mentioned by Bob Solovay at http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2008-March/012783.html. Note that ax-pow 4556 is not used by the proof. (Contributed by Gérard Lang, 22-Jun-2009.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
grothpw  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Distinct variable group:    x, y, z, w

Proof of Theorem grothpw
StepHypRef Expression
1 axgroth5 9131 . . 3  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )
2 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  ->  ~P z  C_  y )
32ralimi 2785 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  A. z  e.  y  ~P z  C_  y
)
4 pweq 3943 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ~P z  =  ~P x
)
54sseq1d 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( ~P z  C_  y  <->  ~P x  C_  y ) )
65rspccv 3145 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  C_  y  ->  (
x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  ->  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) )
87anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) ) )
983adant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y ) ) )
10 pm3.35 585 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( x  e.  y  ->  ~P x  C_  y
) )  ->  ~P x  C_  y )
11 vex 3050 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211ssex 4522 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  ->  ~P x  e.  _V )
139, 10, 123syl 20 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w
)  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~~  y  \/  z  e.  y ) )  ->  ~P x  e.  _V )
1413exlimiv 1737 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  E. w  e.  y  ~P z  C_  w )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~~  y  \/  z  e.  y
) )  ->  ~P x  e.  _V )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ~P x  e.  _V
16 pwidg 3953 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ~P x  e.  ~P ~P x )
17 pweq 3943 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  ->  ~P y  =  ~P ~P x )
1817eleq2d 2462 . . . . . 6  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( ~P x  e. 
~P y  <->  ~P x  e.  ~P ~P x ) )
1918spcegv 3133 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  ( ~P x  e.  ~P ~P x  ->  E. y ~P x  e.  ~P y ) )
2016, 19mpd 15 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  _V  ->  E. y ~P x  e. 
~P y )
21 elex 3056 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2221exlimiv 1737 . . . 4  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  ->  ~P x  e.  _V )
2320, 22impbii 188 . . 3  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y ~P x  e.  ~P y )
2411elpw2 4542 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  ~P x  C_  y )
25 pwss 3955 . . . . . 6  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( z  C_  x  ->  z  e.  y ) )
26 dfss2 3419 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  x  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
2726imbi1i 323 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2827albii 1655 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  C_  x  ->  z  e.  y )  <->  A. z ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
2925, 28bitri 249 . . . . 5  |-  ( ~P x  C_  y  <->  A. z
( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
3024, 29bitri 249 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ~P y  <->  A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3130exbii 1682 . . 3  |-  ( E. y ~P x  e. 
~P y  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3223, 31bitri 249 . 2  |-  ( ~P x  e.  _V  <->  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y ) )
3315, 32mpbi 208 1  |-  E. y A. z ( A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  x
)  ->  z  e.  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1627    e. wcel 1836   A.wral 2742   E.wrex 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3402   ~Pcpw 3940   class class class wbr 4380    ~~ cen 7450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-groth 9130
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ral 2747  df-rex 2748  df-v 3049  df-in 3409  df-ss 3416  df-pw 3942
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