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Theorem grothprim 9258
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 9247 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols  /\,  \/,  <->, and  E.). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
grothprim  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t, h, g

Proof of Theorem grothprim
StepHypRef Expression
1 axgroth4 9256 . 2  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )
2 3anass 986 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
3 dfss2 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
C_  z  <->  A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z ) )
4 elin 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )
53, 4imbi12i 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
65albii 1687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
76rexbii 2934 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  E. v  e.  y 
A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) )
8 df-rex 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) )  <->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )
97, 8bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )
109ralbii 2863 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. z  e.  y  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )
11 df-ral 2787 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  E. v ( v  e.  y  /\  A. w
( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) )  <->  A. z
( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) ) )
1210, 11bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) ) )
13 dfss2 3459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  y  <->  A. w
( w  e.  z  ->  w  e.  y ) )
14 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
15 difexg 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  z )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
\  z )  e. 
_V
17 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
18 incom 3661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  \  z )  i^i  z )  =  ( z  i^i  (
y  \  z )
)
19 disjdif 3873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  i^i  ( y  \ 
z ) )  =  (/)
2018, 19eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  \  z )  i^i  z )  =  (/)
2116, 17, 20brdom6disj 8958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  \  z )  ~<_  z  <->  E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w ) )
2221orbi1i 522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  ( E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )
23 19.44v 1820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y )  <-> 
( E. w ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )
2422, 23bitr4i 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y )  <->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )
2513, 24imbi12i 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) ) )
26 19.35 1734 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )  <->  ( A. w ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  E. w
( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y 
\  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) ) )
2725, 26bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) ) )
28 grothprimlem 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { v ,  u }  e.  w  <->  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) ) )
2928mobii 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E* u { v ,  u }  e.  w  <->  E* u E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) ) )
30 mo2v 2273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E* u E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  <->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
3129, 30bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* u { v ,  u }  e.  w  <->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
3231ralbii 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  <->  A. v  e.  z  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )
33 df-ral 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  z  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t )  <->  A. v ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) ) )
3432, 33bitri 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) ) )
35 df-ral 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  ( y  \  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w ) )
36 eldif 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  ( y  \ 
z )  <->  ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z ) )
37 grothprimlem 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { u ,  v }  e.  w  <->  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) )
3837rexbii 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  E. u  e.  z  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) )
39 df-rex 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u  e.  z  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) )  <->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )
4038, 39bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )
4136, 40imbi12i 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  ( y 
\  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <-> 
( ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z )  ->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) )
42 pm5.6 920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( v  e.  y  /\  -.  v  e.  z )  ->  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) )  <->  ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4341, 42bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  ( y 
\  z )  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <-> 
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4443albii 1687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. v ( v  e.  ( y  \  z
)  ->  E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  <->  A. v
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4535, 44bitri 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  {
u ,  v }  e.  w  <->  A. v
( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )
4634, 45anbi12i 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  <->  ( A. v
( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  A. v ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
47 19.26 1727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  <->  ( A. v ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  A. v ( v  e.  y  ->  ( v  e.  z  \/  E. u
( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
4846, 47bitr4i 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  <->  A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) ) )
4948orbi1i 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y )  <->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) )
5049imbi2i 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( ( A. v  e.  z  E* u { v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z ) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w )  \/  z  e.  y ) )  <->  ( (
w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u
( E. g ( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5150exbii 1714 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  (
( A. v  e.  z  E* u {
v ,  u }  e.  w  /\  A. v  e.  ( y  \  z
) E. u  e.  z  { u ,  v }  e.  w
)  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5227, 51bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5352albii 1687 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) )  <->  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )
5412, 53anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
55 19.26 1727 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( A. z ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  A. z E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
5654, 55bitr4i 255 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
5756anbi2i 698 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( A. z  e.  y  E. v  e.  y 
A. w ( w 
C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v
) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y 
\  z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) ) )  <-> 
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
582, 57bitri 252 . . 3  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w ( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z
( z  C_  y  ->  ( ( y  \ 
z )  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
5958exbii 1714 . 2  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  E. v  e.  y  A. w
( w  C_  z  ->  w  e.  ( y  i^i  v ) )  /\  A. z ( z  C_  y  ->  ( ( y  \  z
)  ~<_  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  A. z
( ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  y  /\  A. w ( A. u ( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  (
w  e.  y  /\  w  e.  v )
) ) )  /\  E. w ( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) ) )
601, 59mpbi 211 1  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z ( ( z  e.  y  ->  E. v ( v  e.  y  /\  A. w ( A. u
( u  e.  w  ->  u  e.  z )  ->  ( w  e.  y  /\  w  e.  v ) ) ) )  /\  E. w
( ( w  e.  z  ->  w  e.  y )  ->  ( A. v ( ( v  e.  z  ->  E. t A. u ( E. g
( g  e.  w  /\  A. h ( h  e.  g  <->  ( h  =  v  \/  h  =  u ) ) )  ->  u  =  t ) )  /\  (
v  e.  y  -> 
( v  e.  z  \/  E. u ( u  e.  z  /\  E. g ( g  e.  w  /\  A. h
( h  e.  g  <-> 
( h  =  u  \/  h  =  v ) ) ) ) ) ) )  \/  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870   E*wmo 2267   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   class class class wbr 4426    ~<_ cdom 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-ac2 8891  ax-groth 9247
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-ac 8545  df-cda 8596
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