Theorem grothprim 9224

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 9213 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols /\, \/, <->, and E.). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
grothprim	|- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t, h, g

Proof of Theorem grothprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth4 9222	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2		3anass 977	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) )
3		dfss2 3498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w C_ z <-> A. u ( u e. w -> u e. z ) )
4		elin 3692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
5	3, 4	imbi12i 326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
6	5	albii 1620	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
7	6	rexbii 2969	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
8		df-rex 2823	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
9	7, 8	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
10	9	ralbii 2898	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
11		df-ral 2822	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
12	10, 11	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
13		dfss2 3498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y <-> A. w ( w e. z -> w e. y ) )
14		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15		difexg 4601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( y \ z ) e. _V )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y \ z ) e. _V
17		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
18		incom 3696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = ( z i^i ( y \ z ) )
19		disjdif 3905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z i^i ( y \ z ) ) = (/)
20	18, 19	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = (/)
21	16, 17, 20	brdom6disj 8922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ z ) ~<_ z <-> E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) )
22	21	orbi1i 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
23		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w z e. y
24	23	19.44 1918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
25	22, 24	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
26	13, 25	imbi12i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
27		19.35 1664	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
28	26, 27	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
29		grothprimlem 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { v , u } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
30	29	mobii 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
31		mo2v 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
32	30, 31	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
33	32	ralbii 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
34		df-ral 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
35	33, 34	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
36		df-ral 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) )
37		eldif 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( y \ z ) <-> ( v e. y /\ -. v e. z ) )
38		grothprimlem 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { u , v } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
39	38	rexbii 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
40		df-rex 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
41	39, 40	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
42	37, 41	imbi12i 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) )
43		pm5.6 910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
44	42, 43	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
45	44	albii 1620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
46	36, 45	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
47	35, 46	anbi12i 697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
48		19.26 1657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
49	47, 48	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
50	49	orbi1i 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) )
51	50	imbi2i 312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
52	51	exbii 1644	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
53	28, 52	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
54	53	albii 1620	. . . . . . 7 |- ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
55	12, 54	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
56		19.26 1657	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
57	55, 56	bitr4i 252	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
58	57	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
59	2, 58	bitri 249	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
60	59	exbii 1644	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
61	1, 60	mpbi 208	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   E.wex 1596   e. wcel 1767   E*wmo 2276   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453   ~<_ cdom 7526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-reg 8030  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-ac2 8855  ax-groth 9213

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560

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