Theorem grothprim 9936

Description: The Tarksi-Grothendieck Axiom ax-groth 9926 expanded into set theory primitives using 163 symbols. An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives).

Assertion

Ref	Expression
grothprim	|- E.y(x e. y /\ A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,t,h,g

Proof of Theorem grothprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth4 9934	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))
2		3anass 859	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ (A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))))
3		dfss2 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w C_ z <-> A.u(u e. w -> u e. z))
4		elin 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. (y i^i v) <-> (w e. y /\ w e. v))
5	3, 4	imbi12i 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> (A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))
6	5	albii 1184	. . . . . . . . . . 11 |- (A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))
7	6	rexbii 1962	. . . . . . . . . 10 |- (E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> E.v e. y A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))
8		df-rex 1944	. . . . . . . . . 10 |- (E.v e. y A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)) <-> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v))))
9	7, 8	bitri 189	. . . . . . . . 9 |- (E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v))))
10	9	ralbii 1961	. . . . . . . 8 |- (A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> A.z e. y E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v))))
11		df-ral 1943	. . . . . . . 8 |- (A.z e. y E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v))) <-> A.z(z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))))
12	10, 11	bitri 189	. . . . . . 7 |- (A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) <-> A.z(z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))))
13		dfss2 2443	. . . . . . . . . 10 |- (z C_ y <-> A.w(w e. z -> w e. y))
14		visset 2128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
15		difexg 3273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. _V -> (y \ z) e. _V)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y \ z) e. _V
17		visset 2128	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
18		incom 2614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y \ z) i^i z) = (z i^i (y \ z))
19		difdisj 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z i^i (y \ z)) = (/)
20	18, 19	eqtri 1745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y \ z) i^i z) = (/)
21	16, 17, 20	brdom6disj 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y \ z) ~<_ z <-> E.w(A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w))
22	21	orbi1i 274	. . . . . . . . . . 11 |- (((y \ z) ~<_ z \/ z e. y) <-> (E.w(A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y))
23		ax-17 1155	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. y -> A.w z e. y)
24	23	19.44 1279	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y) <-> (E.w(A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y))
25	22, 24	bitr4i 192	. . . . . . . . . 10 |- (((y \ z) ~<_ z \/ z e. y) <-> E.w((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y))
26	13, 25	imbi12i 204	. . . . . . . . 9 |- ((z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> (A.w(w e. z -> w e. y) -> E.w((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y)))
27		19.35 1264	. . . . . . . . 9 |- (E.w((w e. z -> w e. y) -> ((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y)) <-> (A.w(w e. z -> w e. y) -> E.w((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y)))
28		grothprimlem 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({v, u} e. w <-> E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))))
29	28	mobii 1638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E*u{v, u} e. w <-> E*uE.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))))
30		ax-17 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> A.tE.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))))
31	30	mo2 1633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E*uE.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) <-> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t))
32	29, 31	bitri 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E*u{v, u} e. w <-> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t))
33	32	ralbii 1961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.v e. z E*u{v, u} e. w <-> A.v e. z E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t))
34		df-ral 1943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.v e. z E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t) <-> A.v(v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)))
35	33, 34	bitri 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.v e. z E*u{v, u} e. w <-> A.v(v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)))
36		df-ral 1943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w <-> A.v(v e. (y \ z) -> E.u e. z {u, v} e. w))
37		impexp 372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((v e. y /\ -. v e. z) -> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))) <-> (v e. y -> (-. v e. z -> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))))
38		eldif 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. (y \ z) <-> (v e. y /\ -. v e. z))
39		grothprimlem 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ({u, v} e. w <-> E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))
40	39	rexbii 1962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.u e. z {u, v} e. w <-> E.u e. z E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))
41		df-rex 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.u e. z E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))) <-> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))
42	40, 41	bitri 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.u e. z {u, v} e. w <-> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))
43	38, 42	imbi12i 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. (y \ z) -> E.u e. z {u, v} e. w) <-> ((v e. y /\ -. v e. z) -> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))
44		df-or 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))) <-> (-. v e. z -> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))
45	44	imbi2i 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))) <-> (v e. y -> (-. v e. z -> E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))))
46	37, 43, 45	3bitr4i 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. (y \ z) -> E.u e. z {u, v} e. w) <-> (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))))
47	46	albii 1184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.v(v e. (y \ z) -> E.u e. z {u, v} e. w) <-> A.v(v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))))
48	36, 47	bitri 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w <-> A.v(v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v)))))))
49	35, 48	anbi12i 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) <-> (A.v(v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ A.v(v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))))
50		19.26 1254	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) <-> (A.v(v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ A.v(v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))))
51	49, 50	bitr4i 192	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) <-> A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))))
52	51	orbi1i 274	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y) <-> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))
53	52	imbi2i 201	. . . . . . . . . 10 |- (((w e. z -> w e. y) -> ((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y)) <-> ((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))
54	53	exbii 1236	. . . . . . . . 9 |- (E.w((w e. z -> w e. y) -> ((A.v e. z E*u{v, u} e. w /\ A.v e. (y \ z)E.u e. z {u, v} e. w) \/ z e. y)) <-> E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))
55	26, 27, 54	3bitr2i 195	. . . . . . . 8 |- ((z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))
56	55	albii 1184	. . . . . . 7 |- (A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)) <-> A.zE.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))
57	12, 56	anbi12i 537	. . . . . 6 |- ((A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (A.z(z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ A.zE.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))))
58		19.26 1254	. . . . . 6 |- (A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))) <-> (A.z(z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ A.zE.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))))
59	57, 58	bitr4i 192	. . . . 5 |- ((A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))))
60	59	anbi2i 535	. . . 4 |- ((x e. y /\ (A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y)))) <-> (x e. y /\ A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))))
61	2, 60	bitri 189	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> (x e. y /\ A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))))
62	61	exbii 1236	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z e. y E.v e. y A.w(w C_ z -> w e. (y i^i v)) /\ A.z(z C_ y -> ((y \ z) ~<_ z \/ z e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y)))))
63	1, 62	mpbi 205	1 |- E.y(x e. y /\ A.z((z e. y -> E.v(v e. y /\ A.w(A.u(u e. w -> u e. z) -> (w e. y /\ w e. v)))) /\ E.w((w e. z -> w e. y) -> (A.v((v e. z -> E.tA.u(E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = v \/ h = u))) -> u = t)) /\ (v e. y -> (v e. z \/ E.u(u e. z /\ E.g(g e. w /\ A.h(h e. g <-> (h = u \/ h = v))))))) \/ z e. y))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 162   \/ wo 238   /\ wa 239   /\ w3a 855  A.wal 1134   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164  E*wmo 1610  A.wral 1939  E.wrex 1940  _Vcvv 2125   \ cdif 2423   i^i cin 2425   C_ wss 2426  (/)c0 2701  {cpr 2869   class class class wbr 3158   ~<_ cdom 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-reg 5505  ax-inf2 5540  ax-ac 5702  ax-groth 9926

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-iso 3826  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-2o 4989  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-map 5194  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-fin 5241  df-undef 5367  df-riota 5371  df-card 5658  df-cda 5862  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-n 6903  df-2 6949  df-n0 7104  df-z 7140  df-seq1 7516  df-exp 7607

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