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Theorem grothprim 8665
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 8654 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols /\, \/, <->, and E.). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
grothprim |- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t, h, g
Proof of Theorem grothprim
StepHypRef Expression
1 axgroth4 8663 . 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2 3anass 940 . . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) )
3 dfss2 3297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w C_ z <-> A. u ( u e. w -> u e. z ) )
4 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
53, 4imbi12i 317 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
65albii 1572 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
76rexbii 2691 . . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
8 df-rex 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
97, 8bitri 241 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
109ralbii 2690 . . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
11 df-ral 2671 . . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
1210, 11bitri 241 . . . . . . 7 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
13 dfss2 3297 . . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y <-> A. w ( w e. z -> w e. y ) )
14 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( y \ z ) e. _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y \ z ) e. _V
17 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
18 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = ( z i^i ( y \ z ) )
19 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z i^i ( y \ z ) ) = (/)
2018, 19eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = (/)
2116, 17, 20brdom6disj 8366 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ z ) ~<_ z <-> E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) )
2221orbi1i 507 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
23 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w z e. y
242319.44 1894 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
2522, 24bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
2613, 25imbi12i 317 . . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
27 19.35 1607 . . . . . . . . . 10 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
2826, 27bitr4i 244 . . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
29 grothprimlem 8664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { v , u } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
3029mobii 2290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
31 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ t E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) )
3231mo2 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
3330, 32bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
3433ralbii 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
35 df-ral 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
3634, 35bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
37 df-ral 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) )
38 eldif 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( y \ z ) <-> ( v e. y /\ -. v e. z ) )
39 grothprimlem 8664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { u , v } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
4039rexbii 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
41 df-rex 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
4240, 41bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
4338, 42imbi12i 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) )
44 pm5.6 879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
4543, 44bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
4645albii 1572 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
4737, 46bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
4836, 47anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
49 19.26 1600 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
5048, 49bitr4i 244 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
5150orbi1i 507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) )
5251imbi2i 304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
5352exbii 1589 . . . . . . . . 9 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
5428, 53bitri 241 . . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
5554albii 1572 . . . . . . 7 |- ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
5612, 55anbi12i 679 . . . . . 6 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
57 19.26 1600 . . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
5856, 57bitr4i 244 . . . . 5 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
5958anbi2i 676 . . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
602, 59bitri 241 . . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
6160exbii 1589 . 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
621, 61mpbi 200 1 |- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547   e. wcel 1721   E*wmo 2255   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   class class class wbr 4172   ~<_ cdom 7066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-ac2 8299  ax-groth 8654
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953  df-cda 8004
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