Theorem grothprim 9285

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 9274 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols /\, \/, <->, and E.). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
grothprim	|- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, v, u, t, h, g

Proof of Theorem grothprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth4 9283	. 2 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) )
2		3anass 995	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) )
3		dfss2 3433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w C_ z <-> A. u ( u e. w -> u e. z ) )
4		elin 3629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( y i^i v ) <-> ( w e. y /\ w e. v ) )
5	3, 4	imbi12i 332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
6	5	albii 1702	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
7	6	rexbii 2901	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) )
8		df-rex 2755	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. y A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
9	7, 8	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
10	9	ralbii 2831	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) )
11		df-ral 2754	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
12	10, 11	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) )
13		dfss2 3433	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ y <-> A. w ( w e. z -> w e. y ) )
14		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
15		difexg 4565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( y \ z ) e. _V )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y \ z ) e. _V
17		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
18		incom 3637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = ( z i^i ( y \ z ) )
19		disjdif 3851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z i^i ( y \ z ) ) = (/)
20	18, 19	eqtri 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y \ z ) i^i z ) = (/)
21	16, 17, 20	brdom6disj 8986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y \ z ) ~<_ z <-> E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) )
22	21	orbi1i 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
23		19.44v 1839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( E. w ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
24	22, 23	bitr4i 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) <-> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) )
25	13, 24	imbi12i 332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
26		19.35 1751	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. y ) -> E. w ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
27	25, 26	bitr4i 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) )
28		grothprimlem 9284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { v , u } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
29	28	mobii 2333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) )
30		mo2v 2317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* u E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
31	29, 30	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* u { v , u } e. w <-> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
32	31	ralbii 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) )
33		df-ral 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. z E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
34	32, 33	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. z E* u { v , u } e. w <-> A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) )
35		df-ral 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) )
36		eldif 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( y \ z ) <-> ( v e. y /\ -. v e. z ) )
37		grothprimlem 9284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { u , v } e. w <-> E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
38	37	rexbii 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) )
39		df-rex 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. u e. z E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
40	38, 39	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. z { u , v } e. w <-> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) )
41	36, 40	imbi12i 332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) )
42		pm5.6 928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( v e. y /\ -. v e. z ) -> E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
43	41, 42	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
44	43	albii 1702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. v ( v e. ( y \ z ) -> E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
45	35, 44	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w <-> A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) )
46	34, 45	anbi12i 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
47		19.26 1743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. v ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ A. v ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
48	46, 47	bitr4i 260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) <-> A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) )
49	48	orbi1i 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) <-> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) )
50	49	imbi2i 318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
51	50	exbii 1729	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( ( A. v e. z E* u { v , u } e. w /\ A. v e. ( y \ z ) E. u e. z { u , v } e. w ) \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
52	27, 51	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
53	52	albii 1702	. . . . . . 7 |- ( A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) <-> A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) )
54	12, 53	anbi12i 708	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
55		19.26 1743	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) <-> ( A. z ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ A. z E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
56	54, 55	bitr4i 260	. . . . 5 |- ( ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )
57	56	anbi2i 705	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
58	2, 57	bitri 257	. . 3 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
59	58	exbii 1729	. 2 |- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y E. v e. y A. w ( w C_ z -> w e. ( y i^i v ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( ( y \ z ) ~<_ z \/ z e. y ) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) ) )
60	1, 59	mpbi 213	1 |- E. y ( x e. y /\ A. z ( ( z e. y -> E. v ( v e. y /\ A. w ( A. u ( u e. w -> u e. z ) -> ( w e. y /\ w e. v ) ) ) ) /\ E. w ( ( w e. z -> w e. y ) -> ( A. v ( ( v e. z -> E. t A. u ( E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = v \/ h = u ) ) ) -> u = t ) ) /\ ( v e. y -> ( v e. z \/ E. u ( u e. z /\ E. g ( g e. w /\ A. h ( h e. g <-> ( h = u \/ h = v ) ) ) ) ) ) ) \/ z e. y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   A.wal 1453   E.wex 1674   e. wcel 1898   E*wmo 2311   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   {cpr 3982   class class class wbr 4416   ~<_ cdom 7593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-reg 8133  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-ac2 8919  ax-groth 9274

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-ac 8573  df-cda 8624

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