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Theorem grothomex 8660
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 7554). Note that our proof depends on neither the Axiom of Infinity nor Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
grothomex  |-  om  e.  _V

Proof of Theorem grothomex
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r111 7657 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 4808 . . . 4  |-  om  C_  On
3 f1ores 5648 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om ) )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )
5 f1of1 5632 . . 3  |-  ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )  ->  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om ) )
64, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )
7 0ex 4299 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
8 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  y  <->  (/)  e.  y ) )
98anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <-> 
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
109exbidv 1633 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
11 axgroth6 8659 . . . . 5  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  ->  ~P z  e.  y )
1312ralimi 2741 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  ->  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
1413anim2i 553 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y ) )  ->  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
15143adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
1611, 15eximii 1584 . . . 4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
177, 10, 16vtocl 2966 . . 3  |-  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
18 r1fnon 7649 . . . . . . . . 9  |-  R1  Fn  On
19 fvelimab 5741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1  Fn  On  /\  om  C_  On )  ->  (
w  e.  ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w ) )
2018, 2, 19mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w )
21 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2221eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  y  <->  ( R1 `  (/) )  e.  y
) )
23 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  w
) )
2423eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  ( R1 `  w )  e.  y ) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  w )
)
2625eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( ( R1 `  x )  e.  y  <-> 
( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
27 r10 7650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2827eleq1i 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R1 `  (/) )  e.  y  <->  (/)  e.  y )
2928biimpri 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  y  ->  ( R1
`  (/) )  e.  y )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  (/) )  e.  y )
31 pweq 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ~P z  =  ~P ( R1 `  w ) )
3231eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ( ~P z  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3332rspccv 3009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  ->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
34 nnon 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  om  ->  w  e.  On )
35 r1suc 7652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  On  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3736eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  w )  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3837biimprcd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
3933, 38syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4039com3r 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  om  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w )  e.  y  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4140adantld 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( ( R1
`  w )  e.  y  ->  ( R1 ` 
suc  w )  e.  y ) ) )
4222, 24, 26, 30, 41finds2 4832 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  x )  e.  y ) )
43 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  w  e.  y ) )
4443biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  ->  w  e.  y )
)
4542, 44syl9 68 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( R1 `  x
)  =  w  -> 
( ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) ) )
4645rexlimiv 2784 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w  ->  ( ( (/) 
e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4720, 46sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4847com12 29 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  w  e.  y ) )
4948ssrdv 3314 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  C_  y )
50 vex 2919 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5150ssex 4307 . . . . 5  |-  ( ( R1 " om )  C_  y  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5249, 51syl 16 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5352exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. y ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e. 
_V )
5417, 53ax-mp 8 . 2  |-  ( R1
" om )  e. 
_V
55 f1dmex 5930 . 2  |-  ( ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )  /\  ( R1 " om )  e. 
_V )  ->  om  e.  _V )
566, 54, 55mp2an 654 1  |-  om  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    ~< csdm 7067   R1cr1 7644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-groth 8654
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-r1 7646
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