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Theorem glbval 15753
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
glbva.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbval.ss  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbva.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6glbfval 15747 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) )
87fveq1d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S ) )
9 glbval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  dom  G )
111, 2, 3, 9, 6, 10glbeu 15752 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
13 raleq 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1514ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 3042 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3247 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  G  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
22 fvres 5886 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
24 glbval.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4620 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6260 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
32 riotaex 6262 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2502 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5896 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  G  ->  ( G `  S
)  =  (/) )
3736adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5glbeldm 15750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  G ) )
4024, 39mpand 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  G ) )
4140con3dimp 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6293 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2501 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008    |` cres 5010   ` cfv 5594   iota_crio 6257   Basecbs 14643   lecple 14718   glbcglb 15698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-glb 15731
This theorem is referenced by:  glbcl  15754  glbprop  15755  meetval2  15779  isglbd  15873  tosglb  27810  glb0N  35019  glbconN  35202
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