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Theorem glbval 15165
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
glbva.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbval.ss  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbva.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6glbfval 15159 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) )
87fveq1d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S ) )
9 glbval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  dom  G )
111, 2, 3, 9, 6, 10glbeu 15164 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 2915 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
13 raleq 2915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1514ralbidv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3105 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  G  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
22 fvres 5702 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
24 glbval.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5699 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4454 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6052 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
32 riotaex 6054 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5772 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2477 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5712 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  G  ->  ( G `  S
)  =  (/) )
3736adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5glbeldm 15162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  G ) )
4024, 39mpand 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  G ) )
4140con3dimp 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6086 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2476 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   E!wreu 2715   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838    |` cres 4840   ` cfv 5416   iota_crio 6049   Basecbs 14172   lecple 14243   glbcglb 15111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-glb 15143
This theorem is referenced by:  glbcl  15166  glbprop  15167  meetval2  15191  isglbd  15285  tosglb  26129  glb0N  32835  glbconN  33018
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