Theorem glbval 16321

Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying S e. dom U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	|- B = ( Base ` K )
glbval.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbval.g	|- G = ( glb ` K )
glbval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
glbva.k	|- ( ph -> K e. V )
glbval.ss	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
glbval	|- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   G( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		glbval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		glbval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
4		biid 244	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
5		glbva.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
6	5	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> K e. V )
7	1, 2, 3, 4, 6	glbfval 16315	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
8	7	fveq1d 5881	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) )
9		glbval.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
10		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. dom G )
11	1, 2, 3, 9, 6, 10	glbeu 16320	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> E! x e. B ps )
12		raleq 2973	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. y e. s x .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
13		raleq 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. y e. s z .<_ y <-> A. y e. S z .<_ y ) )
14	13	imbi1d 324	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
15	14	ralbidv 2829	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
16	12, 15	anbi12d 725	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
17	16, 9	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ps ) )
18	17	reubidv 2961	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ps ) )
19	18	elabg 3174	. . . . . 6 |- ( S e. dom G -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
20	19	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
21	11, 20	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
22		fvres 5893	. . . 4 |- ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
24		glbval.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
25	24	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S C_ B )
26		fvex 5889	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2545	. . . . . 6 |- B e. _V
28	27	elpw2 4565	. . . . 5 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
29	25, 28	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. ~P B )
30	17	riotabidv 6272	. . . . 5 |- ( s = S -> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( iota_ x e. B ps ) )
31		eqid 2471	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
32		riotaex 6274	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5963	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
34	29, 33	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
35	8, 23, 34	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
36		ndmfv 5903	. . . 4 |- ( -. S e. dom G -> ( G ` S ) = (/) )
37	36	adantl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = (/) )
38	1, 2, 3, 9, 5	glbeldm 16318	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. dom G <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
39	38	biimprd 231	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) -> S e. dom G ) )
40	24, 39	mpand 689	. . . . 5 |- ( ph -> ( E! x e. B ps -> S e. dom G ) )
41	40	con3dimp 448	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> -. E! x e. B ps )
42		riotaund 6305	. . . 4 |- ( -. E! x e. B ps -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
43	41, 42	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
44	37, 43	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
45	35, 44	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E!wreu 2758   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   ` cfv 5589   iota_crio 6269   Basecbs 15199   lecple 15275   glbcglb 16266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-glb 16299

This theorem is referenced by:  glbcl  16322  glbprop  16323  meetval2  16347  isglbd  16441  tosglb  28506  tosglbOLD  28507  glb0N  32830  glbconN  33013