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Theorem glbval 16321
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
glbva.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbval.ss  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 244 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbva.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6glbfval 16315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) )
87fveq1d 5881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S ) )
9 glbval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
10 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  dom  G )
111, 2, 3, 9, 6, 10glbeu 16320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
13 raleq 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1413imbi1d 324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1514ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1612, 15anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 271 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 2961 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3174 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  G  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
22 fvres 5893 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
24 glbval.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4565 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6272 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
32 riotaex 6274 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5963 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5903 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  G  ->  ( G `  S
)  =  (/) )
3736adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5glbeldm 16318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  G ) )
4024, 39mpand 689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  G ) )
4140con3dimp 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6305 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E!wreu 2758   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   ` cfv 5589   iota_crio 6269   Basecbs 15199   lecple 15275   glbcglb 16266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-glb 16299
This theorem is referenced by:  glbcl  16322  glbprop  16323  meetval2  16347  isglbd  16441  tosglb  28506  tosglbOLD  28507  glb0N  32830  glbconN  33013
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