Theorem glbval 16236

Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying S e. dom U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	|- B = ( Base ` K )
glbval.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbval.g	|- G = ( glb ` K )
glbval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
glbva.k	|- ( ph -> K e. V )
glbval.ss	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
glbval	|- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   G( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		glbval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		glbval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
4		biid 240	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
5		glbva.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
6	5	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> K e. V )
7	1, 2, 3, 4, 6	glbfval 16230	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
8	7	fveq1d 5865	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) )
9		glbval.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
10		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. dom G )
11	1, 2, 3, 9, 6, 10	glbeu 16235	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> E! x e. B ps )
12		raleq 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. y e. s x .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
13		raleq 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. y e. s z .<_ y <-> A. y e. S z .<_ y ) )
14	13	imbi1d 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
15	14	ralbidv 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
16	12, 15	anbi12d 716	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
17	16, 9	syl6bbr 267	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ps ) )
18	17	reubidv 2974	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ps ) )
19	18	elabg 3185	. . . . . 6 |- ( S e. dom G -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
20	19	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
21	11, 20	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
22		fvres 5877	. . . 4 |- ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
24		glbval.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
25	24	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S C_ B )
26		fvex 5873	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2524	. . . . . 6 |- B e. _V
28	27	elpw2 4566	. . . . 5 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
29	25, 28	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. ~P B )
30	17	riotabidv 6252	. . . . 5 |- ( s = S -> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( iota_ x e. B ps ) )
31		eqid 2450	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
32		riotaex 6254	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5946	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
34	29, 33	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
35	8, 23, 34	3eqtrd 2488	. 2 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
36		ndmfv 5887	. . . 4 |- ( -. S e. dom G -> ( G ` S ) = (/) )
37	36	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = (/) )
38	1, 2, 3, 9, 5	glbeldm 16233	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. dom G <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
39	38	biimprd 227	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) -> S e. dom G ) )
40	24, 39	mpand 680	. . . . 5 |- ( ph -> ( E! x e. B ps -> S e. dom G ) )
41	40	con3dimp 443	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> -. E! x e. B ps )
42		riotaund 6285	. . . 4 |- ( -. E! x e. B ps -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
43	41, 42	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
44	37, 43	eqtr4d 2487	. 2 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
45	35, 44	pm2.61dan 799	1 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E!wreu 2738   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   |` cres 4835   ` cfv 5581   iota_crio 6249   Basecbs 15114   lecple 15190   glbcglb 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-glb 16214

This theorem is referenced by:  glbcl  16237  glbprop  16238  meetval2  16262  isglbd  16356  tosglb  28424  tosglbOLD  28425  glb0N  32753  glbconN  32936