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Theorem glbval 16236
Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
glbva.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbval.ss  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 240 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbva.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6glbfval 16230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) )
87fveq1d 5865 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S ) )
9 glbval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
10 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  dom  G )
111, 2, 3, 9, 6, 10glbeu 16235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 2986 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
13 raleq 2986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1413imbi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1514ralbidv 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1612, 15anbi12d 716 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 267 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 2974 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3185 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  G  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
22 fvres 5877 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
24 glbval.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2524 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4566 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6252 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
32 riotaex 6254 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5946 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2488 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  G )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5887 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  G  ->  ( G `  S
)  =  (/) )
3736adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5glbeldm 16233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  G ) )
4024, 39mpand 680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  G ) )
4140con3dimp 443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6285 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2487 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  G )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 799 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E!wreu 2738   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833    |` cres 4835   ` cfv 5581   iota_crio 6249   Basecbs 15114   lecple 15190   glbcglb 16181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-glb 16214
This theorem is referenced by:  glbcl  16237  glbprop  16238  meetval2  16262  isglbd  16356  tosglb  28424  tosglbOLD  28425  glb0N  32753  glbconN  32936
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