Theorem glbval 15165

Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying S e. dom U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	|- B = ( Base ` K )
glbval.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbval.g	|- G = ( glb ` K )
glbval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
glbva.k	|- ( ph -> K e. V )
glbval.ss	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
glbval	|- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   G( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		glbval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		glbval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
4		biid 236	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
5		glbva.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> K e. V )
7	1, 2, 3, 4, 6	glbfval 15159	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
8	7	fveq1d 5691	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) )
9		glbval.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. dom G )
11	1, 2, 3, 9, 6, 10	glbeu 15164	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> E! x e. B ps )
12		raleq 2915	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. y e. s x .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
13		raleq 2915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. y e. s z .<_ y <-> A. y e. S z .<_ y ) )
14	13	imbi1d 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
15	14	ralbidv 2733	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
16	12, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
17	16, 9	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ps ) )
18	17	reubidv 2903	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ps ) )
19	18	elabg 3105	. . . . . 6 |- ( S e. dom G -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
20	19	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
21	11, 20	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
22		fvres 5702	. . . 4 |- ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
23	21, 22	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
24		glbval.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S C_ B )
26		fvex 5699	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2511	. . . . . 6 |- B e. _V
28	27	elpw2 4454	. . . . 5 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
29	25, 28	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. ~P B )
30	17	riotabidv 6052	. . . . 5 |- ( s = S -> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( iota_ x e. B ps ) )
31		eqid 2441	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
32		riotaex 6054	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5772	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
34	29, 33	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
35	8, 23, 34	3eqtrd 2477	. 2 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
36		ndmfv 5712	. . . 4 |- ( -. S e. dom G -> ( G ` S ) = (/) )
37	36	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = (/) )
38	1, 2, 3, 9, 5	glbeldm 15162	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. dom G <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
39	38	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) -> S e. dom G ) )
40	24, 39	mpand 675	. . . . 5 |- ( ph -> ( E! x e. B ps -> S e. dom G ) )
41	40	con3dimp 441	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> -. E! x e. B ps )
42		riotaund 6086	. . . 4 |- ( -. E! x e. B ps -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
43	41, 42	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
44	37, 43	eqtr4d 2476	. 2 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
45	35, 44	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   E!wreu 2715   _Vcvv 2970   C_ wss 3326   (/)c0 3635   ~Pcpw 3858   class class class wbr 4290   e. cmpt 4348   dom cdm 4838   |` cres 4840   ` cfv 5416   iota_crio 6049   Basecbs 14172   lecple 14243   glbcglb 15111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-glb 15143

This theorem is referenced by:  glbcl  15166  glbprop  15167  meetval2  15191  isglbd  15285  tosglb  26129  glb0N  32835  glbconN  33018