Theorem glbval 15753

Description: Value of the greatest lower bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying S e. dom U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set on both sides of the equality. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbval.b	|- B = ( Base ` K )
glbval.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbval.g	|- G = ( glb ` K )
glbval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
glbva.k	|- ( ph -> K e. V )
glbval.ss	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
glbval	|- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   G( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem glbval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		glbval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		glbval.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
4		biid 236	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
5		glbva.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> K e. V )
7	1, 2, 3, 4, 6	glbfval 15747	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> G = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) )
8	7	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) )
9		glbval.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. dom G )
11	1, 2, 3, 9, 6, 10	glbeu 15752	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> E! x e. B ps )
12		raleq 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. y e. s x .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
13		raleq 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. y e. s z .<_ y <-> A. y e. S z .<_ y ) )
14	13	imbi1d 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
15	14	ralbidv 2896	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
16	12, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
17	16, 9	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ps ) )
18	17	reubidv 3042	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> E! x e. B ps ) )
19	18	elabg 3247	. . . . . 6 |- ( S e. dom G -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
20	19	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
21	11, 20	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } )
22		fvres 5886	. . . 4 |- ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
23	21, 22	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) )
24		glbval.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S C_ B )
26		fvex 5882	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2541	. . . . . 6 |- B e. _V
28	27	elpw2 4620	. . . . 5 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
29	25, 28	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> S e. ~P B )
30	17	riotabidv 6260	. . . . 5 |- ( s = S -> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( iota_ x e. B ps ) )
31		eqid 2457	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
32		riotaex 6262	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 5956	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
34	29, 33	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. s z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
35	8, 23, 34	3eqtrd 2502	. 2 |- ( ( ph /\ S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
36		ndmfv 5896	. . . 4 |- ( -. S e. dom G -> ( G ` S ) = (/) )
37	36	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = (/) )
38	1, 2, 3, 9, 5	glbeldm 15750	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. dom G <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
39	38	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) -> S e. dom G ) )
40	24, 39	mpand 675	. . . . 5 |- ( ph -> ( E! x e. B ps -> S e. dom G ) )
41	40	con3dimp 441	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> -. E! x e. B ps )
42		riotaund 6293	. . . 4 |- ( -. E! x e. B ps -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
43	41, 42	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
44	37, 43	eqtr4d 2501	. 2 |- ( ( ph /\ -. S e. dom G ) -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
45	35, 44	pm2.61dan 791	1 |- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   |` cres 5010   ` cfv 5594   iota_crio 6257   Basecbs 14643   lecple 14718   glbcglb 15698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-glb 15731

This theorem is referenced by:  glbcl  15754  glbprop  15755  meetval2  15779  isglbd  15873  tosglb  27810  glb0N  35019  glbconN  35202