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Theorem glbprop 15955
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbprop.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbprop.u  |-  U  =  ( glb `  K
)
glbprop.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbprop.s  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y,  .<_    y, U, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( y)    .<_ ( z)    V( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbprop.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbprop.u . . . 4  |-  U  =  ( glb `  K
)
4 biid 238 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbprop.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
6 glbprop.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 15951 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 15953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
98eqcomd 2412 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S ) )
101, 3, 5, 6glbcl 15954 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 15952 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
12 breq1 4400 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( U `  S )  .<_  y ) )
1312ralbidv 2845 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y ) )
14 breq2 4401 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( U `  S ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1615ralbidv 2845 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1713, 16anbi12d 711 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) ) )
1817riota2 6264 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
1910, 11, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
209, 19mpbird 234 1  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E!wreu 2758   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   ` cfv 5571   iota_crio 6241   Basecbs 14843   lecple 14918   glbcglb 15898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-glb 15931
This theorem is referenced by:  glble  15956  clatglb  16080
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