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Theorem glbprop 15477
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbprop.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbprop.u  |-  U  =  ( glb `  K
)
glbprop.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbprop.s  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y,  .<_    y, U, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( y)    .<_ ( z)    V( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbprop.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbprop.u . . . 4  |-  U  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbprop.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
6 glbprop.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 15473 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 15475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
98eqcomd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S ) )
101, 3, 5, 6glbcl 15476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 15474 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
12 breq1 4445 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( U `  S )  .<_  y ) )
1312ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y ) )
14 breq2 4446 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( U `  S ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1615ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1713, 16anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) ) )
1817riota2 6261 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
1910, 11, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
209, 19mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E!wreu 2811   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ` cfv 5581   iota_crio 6237   Basecbs 14481   lecple 14553   glbcglb 15421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-glb 15453
This theorem is referenced by:  glble  15478  clatglb  15602
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