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Theorem glbprop 16238
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbprop.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbprop.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbprop.u  |-  U  =  ( glb `  K
)
glbprop.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
glbprop.s  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
Assertion
Ref Expression
glbprop  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y,  .<_    y, U, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( y)    .<_ ( z)    V( y, z)

Proof of Theorem glbprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbprop.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbprop.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbprop.u . . . 4  |-  U  =  ( glb `  K
)
4 biid 240 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbprop.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
6 glbprop.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
71, 2, 3, 5, 6glbelss 16234 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 16236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
98eqcomd 2456 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S ) )
101, 3, 5, 6glbcl 16237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6glbeu 16235 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
12 breq1 4404 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( U `  S )  .<_  y ) )
1312ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y ) )
14 breq2 4405 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  ( U `  S ) ) )
1514imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1615ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) )
1713, 16anbi12d 716 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) ) ) )
1817riota2 6272 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S ) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
1910, 11, 18syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
209, 19mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( U `  S )  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  ( U `  S
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E!wreu 2738   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ` cfv 5581   iota_crio 6249   Basecbs 15114   lecple 15190   glbcglb 16181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-glb 16214
This theorem is referenced by:  glble  16239  clatglb  16363
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