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Theorem glbfval 16181
Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbfval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbfval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
glbfval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
glbfval  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, s)    ps( x, y, z, s)    B( y)    G( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)    V( x, y, z, s)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbfval.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
2 elex 3087 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
3 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 glbfval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2479 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 3981 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 glbfval.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) y  <->  x  .<_  y ) )
1110ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  <->  A. y  e.  s  x  .<_  y ) )
129breqd 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  (
z ( le `  p ) y  <->  z  .<_  y ) )
1312ralbidv 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
z ( le `  p ) y  <->  A. y  e.  s  z  .<_  y ) )
149breqd 4428 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
z ( le `  p ) x  <->  z  .<_  x ) )
1513, 14imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  z ( le
`  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x )  <->  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
165, 15raleqbidv 3037 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  -> 
z ( le `  p ) x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
1711, 16anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  x ( le
`  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6261 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4495 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) )
2017reubidv 3011 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) )  <-> 
E! x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
21 reueq1 3025 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  p )  =  B  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
225, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
2320, 22bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) )  <-> 
E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
2423abbidv 2556 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
2519, 24reseq12d 5117 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  x ( le
`  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) )
26 df-glb 16165 . . . 4  |-  glb  =  ( p  e.  _V  |->  ( ( s  e. 
~P ( Base `  p
)  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) } ) )
27 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
284, 27eqeltri 2504 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2928pwex 4599 . . . . . 6  |-  ~P B  e.  _V
3029mptex 6142 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  e.  _V
3130resex 5159 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } )  e.  _V
3225, 26, 31fvmpt 5955 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  ( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) )
33 glbfval.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
34 glbfval.p . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( ps 
<->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
3635riotabiia 6275 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
3736mpteq2i 4500 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
3834reubii 3013 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
3938abbii 2554 . . . 4  |-  { s  |  E! x  e.  B  ps }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }
4037, 39reseq12i 5114 . . 3  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } )
4132, 33, 403eqtr4g 2486 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
421, 2, 413syl 18 1  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   E!wreu 2775   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3976   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475    |` cres 4847   ` cfv 5592   iota_crio 6257   Basecbs 15073   lecple 15149   glbcglb 16132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-glb 16165
This theorem is referenced by:  glbdm  16182  glbfun  16183  glbval  16187  meet0  16327  oduglb  16329  odulub  16331
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