Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfval Structured version   Unicode version

Theorem glbfval 15478
 Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b
glbfval.l
glbfval.g
glbfval.p
glbfval.k
Assertion
Ref Expression
glbfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbfval.k . 2
2 elex 3122 . 2
3 fveq2 5866 . . . . . . . 8
4 glbfval.b . . . . . . . 8
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . 7
65pweqd 4015 . . . . . 6
7 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11
8 glbfval.l . . . . . . . . . . 11
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10
109breqd 4458 . . . . . . . . 9
1110ralbidv 2903 . . . . . . . 8
129breqd 4458 . . . . . . . . . . 11
1312ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10
149breqd 4458 . . . . . . . . . 10
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9
165, 15raleqbidv 3072 . . . . . . . 8
1711, 16anbi12d 710 . . . . . . 7
185, 17riotaeqbidv 6248 . . . . . 6
196, 18mpteq12dv 4525 . . . . 5
2017reubidv 3046 . . . . . . 7
21 reueq1 3060 . . . . . . . 8
225, 21syl 16 . . . . . . 7
2320, 22bitrd 253 . . . . . 6
2423abbidv 2603 . . . . 5
2519, 24reseq12d 5274 . . . 4
26 df-glb 15462 . . . 4
27 fvex 5876 . . . . . . . 8
284, 27eqeltri 2551 . . . . . . 7
2928pwex 4630 . . . . . 6
3029mptex 6131 . . . . 5
3130resex 5317 . . . 4
3225, 26, 31fvmpt 5950 . . 3
33 glbfval.g . . 3
34 glbfval.p . . . . . . 7
3534a1i 11 . . . . . 6
3635riotabiia 6263 . . . . 5
3736mpteq2i 4530 . . . 4
3834reubii 3048 . . . . 5
3938abbii 2601 . . . 4
4037, 39reseq12i 5271 . . 3
4132, 33, 403eqtr4g 2533 . 2
421, 2, 413syl 20 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wral 2814  wreu 2816  cvv 3113  cpw 4010   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cres 5001  cfv 5588  crio 6244  cbs 14490  cple 14562  cglb 15430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-glb 15462 This theorem is referenced by:  glbdm  15479  glbfun  15480  glbval  15484  meet0  15624  oduglb  15626  odulub  15628
 Copyright terms: Public domain W3C validator