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Theorem glbfval 15478
Description: Value of the greatest lower function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbfval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbfval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
glbfval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
glbfval  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, s)    ps( x, y, z, s)    B( y)    G( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)    V( x, y, z, s)

Proof of Theorem glbfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbfval.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
2 elex 3122 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
3 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 glbfval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 4015 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 glbfval.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4458 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) y  <->  x  .<_  y ) )
1110ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  <->  A. y  e.  s  x  .<_  y ) )
129breqd 4458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  (
z ( le `  p ) y  <->  z  .<_  y ) )
1312ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
z ( le `  p ) y  <->  A. y  e.  s  z  .<_  y ) )
149breqd 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
z ( le `  p ) x  <->  z  .<_  x ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  z ( le
`  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x )  <->  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
165, 15raleqbidv 3072 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  -> 
z ( le `  p ) x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
1711, 16anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  x ( le
`  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6248 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4525 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) )
2017reubidv 3046 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) )  <-> 
E! x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
21 reueq1 3060 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  p )  =  B  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
225, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) )  <-> 
E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
2423abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } )
2519, 24reseq12d 5274 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  x ( le
`  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) )
26 df-glb 15462 . . . 4  |-  glb  =  ( p  e.  _V  |->  ( ( s  e. 
~P ( Base `  p
)  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  x ( le `  p ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  z ( le `  p ) y  ->  z ( le
`  p ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  x
( le `  p
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  z
( le `  p
) y  ->  z
( le `  p
) x ) ) } ) )
27 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
284, 27eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2928pwex 4630 . . . . . 6  |-  ~P B  e.  _V
3029mptex 6131 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  e.  _V
3130resex 5317 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } )  e.  _V
3225, 26, 31fvmpt 5950 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  ( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) } ) )
33 glbfval.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
34 glbfval.p . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( ps 
<->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
3635riotabiia 6263 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
3736mpteq2i 4530 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
3834reubii 3048 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )
3938abbii 2601 . . . 4  |-  { s  |  E! x  e.  B  ps }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }
4037, 39reseq12i 5271 . . 3  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } )
4132, 33, 403eqtr4g 2533 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
421, 2, 413syl 20 1  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E!wreu 2816   _Vcvv 3113   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5588   iota_crio 6244   Basecbs 14490   lecple 14562   glbcglb 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-glb 15462
This theorem is referenced by:  glbdm  15479  glbfun  15480  glbval  15484  meet0  15624  oduglb  15626  odulub  15628
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