Theorem glbfun 15469

Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
glbfun.g	|- G = ( glb ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbfun	|- Fun G

Proof of Theorem glbfun

Dummy variables x s y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5615	. . . 4 |- Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
2		funres 5618	. . . 4 |- ( Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) -> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } )
4		eqid 2460	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2460	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		glbfun.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
7		biid 236	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) <-> ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
8		id 22	. . . . 5 |- ( K e. _V -> K e. _V )
9	4, 5, 6, 7, 8	glbfval 15467	. . . 4 |- ( K e. _V -> G = ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
10	9	funeqd 5600	. . 3 |- ( K e. _V -> ( Fun G <-> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) ) )
11	3, 10	mpbiri 233	. 2 |- ( K e. _V -> Fun G )
12		fun0 5636	. . 3 |- Fun (/)
13		fvprc 5851	. . . . 5 |- ( -. K e. _V -> ( glb ` K ) = (/) )
14	6, 13	syl5eq 2513	. . . 4 |- ( -. K e. _V -> G = (/) )
15	14	funeqd 5600	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( Fun G <-> Fun (/) ) )
16	12, 15	mpbiri 233	. 2 |- ( -. K e. _V -> Fun G )
17	11, 16	pm2.61i 164	1 |- Fun G

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   |` cres 4994   Fun wfun 5573   ` cfv 5579   iota_crio 6235   Basecbs 14479   lecple 14551   glbcglb 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-glb 15451

This theorem is referenced by:  meetfval  15491  meetfval2  15492