MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  glbfun Structured version   Unicode version

Theorem glbfun 15469
Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
glbfun.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbfun  |-  Fun  G

Proof of Theorem glbfun
Dummy variables  x  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5615 . . . 4  |-  Fun  (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )
2 funres 5618 . . . 4  |-  ( Fun  ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  ->  Fun  ( (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) } ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  (
( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } )
4 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 glbfun.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
7 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) )  <-> 
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  K  e.  _V )
94, 5, 6, 7, 8glbfval 15467 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) )
109funeqd 5600 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) ) )
113, 10mpbiri 233 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  Fun  G )
12 fun0 5636 . . 3  |-  Fun  (/)
13 fvprc 5851 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  (/) )
146, 13syl5eq 2513 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1514funeqd 5600 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  (/) ) )
1612, 15mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  Fun 
G )
1711, 16pm2.61i 164 1  |-  Fun  G
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   Fun wfun 5573   ` cfv 5579   iota_crio 6235   Basecbs 14479   lecple 14551   glbcglb 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-glb 15451
This theorem is referenced by:  meetfval  15491  meetfval2  15492
  Copyright terms: Public domain W3C validator