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Theorem glbfun 16232
Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
glbfun.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbfun  |-  Fun  G

Proof of Theorem glbfun
Dummy variables  x  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5617 . . . 4  |-  Fun  (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )
2 funres 5620 . . . 4  |-  ( Fun  ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  ->  Fun  ( (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) } ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  (
( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } )
4 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 glbfun.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
7 biid 240 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) )  <-> 
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  K  e.  _V )
94, 5, 6, 7, 8glbfval 16230 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) )
109funeqd 5602 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) ) )
113, 10mpbiri 237 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  Fun  G )
12 fun0 5638 . . 3  |-  Fun  (/)
13 fvprc 5857 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  (/) )
146, 13syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1514funeqd 5602 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  (/) ) )
1612, 15mpbiri 237 . 2  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  Fun 
G )
1711, 16pm2.61i 168 1  |-  Fun  G
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E!wreu 2738   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    |` cres 4835   Fun wfun 5575   ` cfv 5581   iota_crio 6249   Basecbs 15114   lecple 15190   glbcglb 16181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-glb 16214
This theorem is referenced by:  meetfval  16254  meetfval2  16255
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