Theorem glbfun 16232

Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
glbfun.g	|- G = ( glb ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbfun	|- Fun G

Proof of Theorem glbfun

Dummy variables x s y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5617	. . . 4 |- Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
2		funres 5620	. . . 4 |- ( Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) -> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } )
4		eqid 2450	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2450	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		glbfun.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
7		biid 240	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) <-> ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
8		id 22	. . . . 5 |- ( K e. _V -> K e. _V )
9	4, 5, 6, 7, 8	glbfval 16230	. . . 4 |- ( K e. _V -> G = ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
10	9	funeqd 5602	. . 3 |- ( K e. _V -> ( Fun G <-> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) ) )
11	3, 10	mpbiri 237	. 2 |- ( K e. _V -> Fun G )
12		fun0 5638	. . 3 |- Fun (/)
13		fvprc 5857	. . . . 5 |- ( -. K e. _V -> ( glb ` K ) = (/) )
14	6, 13	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( -. K e. _V -> G = (/) )
15	14	funeqd 5602	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( Fun G <-> Fun (/) ) )
16	12, 15	mpbiri 237	. 2 |- ( -. K e. _V -> Fun G )
17	11, 16	pm2.61i 168	1 |- Fun G

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   {cab 2436   A.wral 2736   E!wreu 2738   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   |` cres 4835   Fun wfun 5575   ` cfv 5581   iota_crio 6249   Basecbs 15114   lecple 15190   glbcglb 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-glb 16214

This theorem is referenced by:  meetfval  16254  meetfval2  16255