Theorem glbfun 15945

Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
glbfun.g	|- G = ( glb ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbfun	|- Fun G

Proof of Theorem glbfun

Dummy variables x s y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5604	. . . 4 |- Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
2		funres 5607	. . . 4 |- ( Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) -> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } )
4		eqid 2402	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2402	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		glbfun.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
7		biid 236	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) <-> ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
8		id 22	. . . . 5 |- ( K e. _V -> K e. _V )
9	4, 5, 6, 7, 8	glbfval 15943	. . . 4 |- ( K e. _V -> G = ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) )
10	9	funeqd 5589	. . 3 |- ( K e. _V -> ( Fun G <-> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s x ( le ` K ) y /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) } ) ) )
11	3, 10	mpbiri 233	. 2 |- ( K e. _V -> Fun G )
12		fun0 5625	. . 3 |- Fun (/)
13		fvprc 5842	. . . . 5 |- ( -. K e. _V -> ( glb ` K ) = (/) )
14	6, 13	syl5eq 2455	. . . 4 |- ( -. K e. _V -> G = (/) )
15	14	funeqd 5589	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( Fun G <-> Fun (/) ) )
16	12, 15	mpbiri 233	. 2 |- ( -. K e. _V -> Fun G )
17	11, 16	pm2.61i 164	1 |- Fun G

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753   E!wreu 2755   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   |` cres 4824   Fun wfun 5562   ` cfv 5568   iota_crio 6238   Basecbs 14839   lecple 14914   glbcglb 15894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-glb 15927

This theorem is referenced by:  meetfval  15967  meetfval2  15968