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Theorem glbfun 15945
Description: The GLB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
glbfun.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbfun  |-  Fun  G

Proof of Theorem glbfun
Dummy variables  x  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5604 . . . 4  |-  Fun  (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )
2 funres 5607 . . . 4  |-  ( Fun  ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  ->  Fun  ( (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) } ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  (
( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 glbfun.g . . . . 5  |-  G  =  ( glb `  K
)
7 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) )  <-> 
( A. y  e.  s  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  K  e.  _V )
94, 5, 6, 7, 8glbfval 15943 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  G  =  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) )
109funeqd 5589 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  z ( le `  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  x
( le `  K
) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  z
( le `  K
) y  ->  z
( le `  K
) x ) ) } ) ) )
113, 10mpbiri 233 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  Fun  G )
12 fun0 5625 . . 3  |-  Fun  (/)
13 fvprc 5842 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( glb `  K )  =  (/) )
146, 13syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1514funeqd 5589 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( Fun  G  <->  Fun  (/) ) )
1612, 15mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  Fun 
G )
1711, 16pm2.61i 164 1  |-  Fun  G
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753   E!wreu 2755   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    |` cres 4824   Fun wfun 5562   ` cfv 5568   iota_crio 6238   Basecbs 14839   lecple 14914   glbcglb 15894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-glb 15927
This theorem is referenced by:  meetfval  15967  meetfval2  15968
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