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Theorem glbeldm 15842
Description: Member of the domain of the greatest lower bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
glbeldm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbeldm.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbeldm.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbeldm.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
glbeldm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
glbeldm  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem glbeldm
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbeldm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbeldm.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbeldm.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
5 glbeldm.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
61, 2, 3, 4, 5glbdm 15840 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  =  {
s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } )
76eleq2d 2527 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
S  e.  { s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) } ) )
8 raleq 3054 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
9 raleq 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
109imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1110ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
128, 11anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1312reubidv 3042 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
14 glbeldm.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1514reubii 3044 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1613, 15syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1716elrab 3257 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e. 
~P B  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <-> 
( S  e.  ~P B  /\  E! x  e.  B  ps ) )
18 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
191, 18eqeltri 2541 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019elpw2 4620 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2120anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  E! x  e.  B  ps )  <->  ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) )
2217, 21bitri 249 . 2  |-  ( S  e.  { s  e. 
~P B  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) }  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) )
237, 22syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  G  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E!wreu 2809   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594   Basecbs 14735   lecple 14810   glbcglb 15790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-glb 15823
This theorem is referenced by:  glbelss  15843  glbeu  15844  glbval  15845
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