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Theorem glbconxN 29860
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. Index-set version of glbconN 29859, where we read  S as  S (
i ). (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbcon.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
glbcon.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glbcon.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
glbconxN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, 
._|_    x, S    B, i    x, I    i, K    ._|_ , i, x
Allowed substitution hints:    S( i)    U( x, i)    G( x, i)    I( i)    K( x)

Proof of Theorem glbconxN
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  S  <->  y  =  S ) )
32rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I  y  =  S ) )
41, 3elab 3042 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  y  =  S )
5 nfra1 2716 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  I  S  e.  B
6 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ i  y  e.  B
7 rsp 2726 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  S  e.  B ) )
8 eleq1a 2473 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  B  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) )
97, 8syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( i  e.  I  ->  (
y  =  S  -> 
y  e.  B ) ) )
105, 6, 9rexlimd 2787 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( E. i  e.  I  y  =  S  ->  y  e.  B ) )
114, 10syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  ( y  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  ->  y  e.  B ) )
1211ssrdv 3314 . . 3  |-  ( A. i  e.  I  S  e.  B  ->  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )
13 glbcon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 glbcon.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
15 glbcon.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
16 glbcon.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1713, 14, 15, 16glbconN 29859 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  C_  B )  ->  ( G `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y )  e.  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
1812, 17sylan2 461 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) ) )
19 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  (  ._|_  `  y )  e.  _V
20 eqeq1 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( x  =  S  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
2120rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ._|_  `  y
)  ->  ( E. i  e.  I  x  =  S  <->  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S ) )
2219, 21elab 3042 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S }  <->  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
2423rabbiia 2906 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  e.  B  |  E. i  e.  I 
(  ._|_  `  y )  =  S }
25 df-rab 2675 . . . . . 6  |-  { y  e.  B  |  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S }  =  {
y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) }
2624, 25eqtri 2424 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  ( 
._|_  `  y )  e. 
{ x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }
27 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  K  e.  HL
2827, 5nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )
297imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )  ->  S  e.  B )
30 hlop 29845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3113, 16opoccl 29677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
3230, 31sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  B )
33 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
._|_  `  S )  e.  B  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  ->  y  e.  B ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  -> 
y  e.  B ) )
3534pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S
) ) ) )
36 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S )
3713, 16opcon2b 29680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
3830, 37syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( S  =  ( 
._|_  `  y )  <->  y  =  (  ._|_  `  S )
) )
39383expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( S  =  (  ._|_  `  y
)  <->  y  =  ( 
._|_  `  S ) ) )
4036, 39syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  (  ._|_  `  y
)  =  S ) )
4140pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  =  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4235, 41bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  B )  ->  ( y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4329, 42sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( A. i  e.  I  S  e.  B  /\  i  e.  I )
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4443anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\ 
A. i  e.  I  S  e.  B )  /\  i  e.  I
)  ->  ( y  =  (  ._|_  `  S
)  <->  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
4528, 44rexbida 2681 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S ) ) )
46 r19.42v 2822 . . . . . . . 8  |-  ( E. i  e.  I  ( y  e.  B  /\  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S ) )
4745, 46syl6rbb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  (  ._|_  `  y )  =  S )  <->  E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S ) ) )
4847abbidv 2518 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { y  |  E. i  e.  I  y  =  (  ._|_  `  S
) } )
49 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5049rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. i  e.  I 
y  =  (  ._|_  `  S )  <->  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S )
) )
5150cbvabv 2523 . . . . . 6  |-  { y  |  E. i  e.  I  y  =  ( 
._|_  `  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) }
5248, 51syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  |  ( y  e.  B  /\  E. i  e.  I  ( 
._|_  `  y )  =  S ) }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } )
5326, 52syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  ->  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } }  =  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } )
5453fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( U `  {
y  e.  B  | 
(  ._|_  `  y )  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } )  =  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) )
5554fveq2d 5691 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( U `  { y  e.  B  |  (  ._|_  `  y
)  e.  { x  |  E. i  e.  I  x  =  S } } ) )  =  (  ._|_  `  ( U `
 { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S ) } ) ) )
5618, 55eqtrd 2436 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  A. i  e.  I  S  e.  B )  -> 
( G `  {
x  |  E. i  e.  I  x  =  S } )  =  ( 
._|_  `  ( U `  { x  |  E. i  e.  I  x  =  (  ._|_  `  S
) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   ` cfv 5413   Basecbs 13424   occoc 13492   lubclub 14354   glbcglb 14355   OPcops 29655   HLchlt 29833
This theorem is referenced by:  polval2N  30388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-undef 6502  df-riota 6508  df-lub 14386  df-glb 14387  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-hlat 29834
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