Theorem glbconN 29859

Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbcon.b	|- B = ( Base ` K )
glbcon.u	|- U = ( lub ` K )
glbcon.g	|- G = ( glb ` K )
glbcon.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbconN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, ._|_   x, S

Allowed substitution hints:   U( x)   G( x)   K( x)

Proof of Theorem glbconN

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin5 3288	. . . 4 |- ( B i^i S ) = { x e. B | x e. S }
2		sseqin2 3520	. . . . 5 |- ( S C_ B <-> ( B i^i S ) = S )
3	2	biimpi 187	. . . 4 |- ( S C_ B -> ( B i^i S ) = S )
4	1, 3	syl5reqr 2451	. . 3 |- ( S C_ B -> S = { x e. B | x e. S } )
5	4	fveq2d 5691	. 2 |- ( S C_ B -> ( G ` S ) = ( G ` { x e. B | x e. S } ) )
6		ssrab2 3388	. . . 4 |- { x e. B | x e. S } C_ B
7		glbcon.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
8		eqid 2404	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
9		glbcon.g	. . . . 5 |- G = ( glb ` K )
10	7, 8, 9	glbval 14396	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ { x e. B | x e. S } C_ B ) -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) = ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) )
11	6, 10	mpan2 653	. . 3 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) = ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) )
12		hlop 29845	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. OP )
13		hlclat 29841	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
14	7, 9	clatglbcl 14496	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { x e. B | x e. S } C_ B ) -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) e. B )
15	13, 6, 14	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) e. B )
16	11, 15	eqeltrrd 2479	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) e. B )
17		fvex 5701	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
18	7, 17	eqeltri 2474	. . . . . 6 |- B e. _V
19	18	riotaclb 6549	. . . . 5 |- ( E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) <-> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) e. B )
20	16, 19	sylibr 204	. . . 4 |- ( K e. HL -> E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) )
21		glbcon.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
22		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( y ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
23	22	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
24		breq2 4176	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( w ( le ` K ) y <-> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
25	24	imbi2d 308	. . . . . . 7 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
26	25	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) <-> A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
27	23, 26	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) )
28	7, 21, 27	riotaocN 29692	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) = ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) )
29	12, 20, 28	syl2anc 643	. . 3 |- ( K e. HL -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) = ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) )
30	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> K e. OP )
31	7, 21	opoccl 29677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
32	30, 31	sylancom 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
33	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> K e. OP )
34	7, 21	opoccl 29677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
35	33, 34	sylancom 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
36	7, 21	opococ 29678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. OP /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
37	33, 36	sylancom 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
38	37	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
39		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( ._|_ ` z ) -> ( ._|_ ` u ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
40	39	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( ._|_ ` z ) -> ( z = ( ._|_ ` u ) <-> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) ) )
41	40	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ._|_ ` z ) e. B /\ z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
42	35, 38, 41	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
43		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( z e. S <-> ( ._|_ ` u ) e. S ) )
44		breq2 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
45	43, 44	imbi12d 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
46	45	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z = ( ._|_ ` u ) ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
47	32, 42, 46	ralxfrd 4696	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
48		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
49		simplr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> v e. B )
50	7, 8, 21	oplecon3b 29683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( le ` K ) v <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
51	30, 48, 49, 50	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( le ` K ) v <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
52	51	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
53	52	ralbidva 2682	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
54	47, 53	bitr4d 248	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) ) )
55		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. S <-> z e. S ) )
56	55	ralrab 3056	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
57		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` u ) )
58	57	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( ._|_ ` x ) e. S <-> ( ._|_ ` u ) e. S ) )
59	58	ralrab 3056	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) )
60	54, 56, 59	3bitr4g 280	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v ) )
61	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> K e. OP )
62	7, 21	opoccl 29677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. OP /\ t e. B ) -> ( ._|_ ` t ) e. B )
63	61, 62	sylancom 649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( ._|_ ` t ) e. B )
64	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> K e. OP )
65	7, 21	opoccl 29677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` w ) e. B )
66	64, 65	sylancom 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` w ) e. B )
67	7, 21	opococ 29678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) = w )
68	64, 67	sylancom 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) = w )
69	68	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) )
70		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( ._|_ ` w ) -> ( ._|_ ` t ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) )
71	70	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( ._|_ ` w ) -> ( w = ( ._|_ ` t ) <-> w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) ) )
72	71	rspcev 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ._|_ ` w ) e. B /\ w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) ) -> E. t e. B w = ( ._|_ ` t ) )
73	66, 69, 72	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> E. t e. B w = ( ._|_ ` t ) )
74		breq1 4175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( w ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
75	74	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
76		breq1 4175	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
77	75, 76	imbi12d 312	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
78	77	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w = ( ._|_ ` t ) ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
79	63, 73, 78	ralxfrd 4696	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> A. t e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
80	12	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> K e. OP )
81		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
82		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> t e. B )
83	7, 8, 21	oplecon3b 29683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. OP /\ u e. B /\ t e. B ) -> ( u ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
84	80, 81, 82, 83	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
85	84	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
86	85	ralbidva 2682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
87	80, 31	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
88	12	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> K e. OP )
89	88, 34	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
90	88, 36	sylancom 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
91	90	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
92	89, 91, 41	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
93		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
94	43, 93	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
95	94	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z = ( ._|_ ` u ) ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
96	87, 92, 95	ralxfrd 4696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
97	86, 96	bitr4d 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) ) )
98	58	ralrab 3056	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) )
99	55	ralrab 3056	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
100	97, 98, 99	3bitr4g 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
101		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> v e. B )
102		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> t e. B )
103	7, 8, 21	oplecon3b 29683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ v e. B /\ t e. B ) -> ( v ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
104	61, 101, 102, 103	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( v ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
105	100, 104	imbi12d 312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
106	105	ralbidva 2682	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) <-> A. t e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
107	79, 106	bitr4d 248	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) )
108	60, 107	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) <-> ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
109	108	riotabidva 6525	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
110		ssrab2 3388	. . . . . 6 |- { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B
111		glbcon.u	. . . . . . 7 |- U = ( lub ` K )
112	7, 8, 111	lubval 14391	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B ) -> ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
113	110, 112	mpan2 653	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
114	109, 113	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) = ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) )
115	114	fveq2d 5691	. . 3 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )
116	11, 29, 115	3eqtrd 2440	. 2 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )
117	5, 116	sylan9eqr 2458	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {crab 2670   _Vcvv 2916   i^i cin 3279   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   lubclub 14354   glbcglb 14355   CLatccla 14491   OPcops 29655   HLchlt 29833

This theorem is referenced by:  glbconxN  29860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-undef 6502  df-riota 6508  df-lub 14386  df-glb 14387  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-hlat 29834