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Theorem glbconN 33013
 Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b
glbcon.u
glbcon.g
glbcon.o
Assertion
Ref Expression
glbconN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3398 . . . 4
2 sseqin2 3642 . . . . 5
32biimpi 199 . . . 4
41, 3syl5reqr 2520 . . 3
54fveq2d 5883 . 2
6 glbcon.b . . . 4
7 eqid 2471 . . . 4
8 glbcon.g . . . 4
9 biid 244 . . . 4
10 id 22 . . . 4
11 ssrab2 3500 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 16321 . . 3
14 hlop 32999 . . . 4
15 hlclat 32995 . . . . . . 7
166, 8clatglbcl 16438 . . . . . . 7
1715, 11, 16sylancl 675 . . . . . 6
1813, 17eqeltrrd 2550 . . . . 5
19 fvex 5889 . . . . . . 7
206, 19eqeltri 2545 . . . . . 6
2120riotaclbBAD 32591 . . . . 5
2218, 21sylibr 217 . . . 4
23 glbcon.o . . . . 5
24 breq1 4398 . . . . . . 7
2524ralbidv 2829 . . . . . 6
26 breq2 4399 . . . . . . . 8
2726imbi2d 323 . . . . . . 7
2827ralbidv 2829 . . . . . 6
2925, 28anbi12d 725 . . . . 5
306, 23, 29riotaocN 32846 . . . 4
3114, 22, 30syl2anc 673 . . 3
3214ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
336, 23opoccl 32831 . . . . . . . . . . 11
3432, 33sylancom 680 . . . . . . . . . 10
3514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
366, 23opoccl 32831 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylancom 680 . . . . . . . . . . 11
386, 23opococ 32832 . . . . . . . . . . . . 13
3935, 38sylancom 680 . . . . . . . . . . . 12
4039eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
4241eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
4342rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
4437, 40, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
45 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
46 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
4847adantl 473 . . . . . . . . . 10
4934, 44, 48ralxfrd 4612 . . . . . . . . 9
50 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
51 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
526, 7, 23oplecon3b 32837 . . . . . . . . . . . 12
5332, 50, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
5453imbi2d 323 . . . . . . . . . 10
5554ralbidva 2828 . . . . . . . . 9
5649, 55bitr4d 264 . . . . . . . 8
57 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
5857ralrab 3188 . . . . . . . 8
59 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
6059eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
6160ralrab 3188 . . . . . . . 8
6256, 58, 613bitr4g 296 . . . . . . 7
6314ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
646, 23opoccl 32831 . . . . . . . . . 10
6563, 64sylancom 680 . . . . . . . . 9
6614ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
676, 23opoccl 32831 . . . . . . . . . . 11
6866, 67sylancom 680 . . . . . . . . . 10
696, 23opococ 32832 . . . . . . . . . . . 12
7066, 69sylancom 680 . . . . . . . . . . 11
7170eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
72 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
7372eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
7473rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
7568, 71, 74syl2anc 673 . . . . . . . . 9
76 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12
7776ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11
78 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11
7977, 78imbi12d 327 . . . . . . . . . 10
8079adantl 473 . . . . . . . . 9
8165, 75, 80ralxfrd 4612 . . . . . . . 8
8214ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15
856, 7, 23oplecon3b 32837 . . . . . . . . . . . . . . 15
8682, 83, 84, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
8786imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . 13
8887ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . 12
8982, 33sylancom 680 . . . . . . . . . . . . 13
9014ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190, 36sylancom 680 . . . . . . . . . . . . . 14
9290, 38sylancom 680 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14
9491, 93, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
95 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15
9645, 95imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
9889, 94, 97ralxfrd 4612 . . . . . . . . . . . 12
9988, 98bitr4d 264 . . . . . . . . . . 11
10060ralrab 3188 . . . . . . . . . . 11
10157ralrab 3188 . . . . . . . . . . 11
10299, 100, 1013bitr4g 296 . . . . . . . . . 10
103 simplr 770 . . . . . . . . . . 11
104 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
1056, 7, 23oplecon3b 32837 . . . . . . . . . . 11
10663, 103, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
107102, 106imbi12d 327 . . . . . . . . 9
108107ralbidva 2828 . . . . . . . 8
10981, 108bitr4d 264 . . . . . . 7
11062, 109anbi12d 725 . . . . . 6
111110riotabidva 6286 . . . . 5
112 ssrab2 3500 . . . . . 6
113 glbcon.u . . . . . . 7
114 biid 244 . . . . . . 7
115 simpl 464 . . . . . . 7
116 simpr 468 . . . . . . 7
1176, 7, 113, 114, 115, 116lubval 16308 . . . . . 6
118112, 117mpan2 685 . . . . 5
119111, 118eqtr4d 2508 . . . 4
120119fveq2d 5883 . . 3
12113, 31, 1203eqtrd 2509 . 2
1225, 121sylan9eqr 2527 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  wreu 2758  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395  cfv 5589  crio 6269  cbs 15199  cple 15275  coc 15276  club 16265  cglb 16266  ccla 16431  cops 32809  chlt 32987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-undef 7038  df-lub 16298  df-glb 16299  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-hlat 32988 This theorem is referenced by:  glbconxN  33014
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