Theorem glbconN 32861

Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbcon.b	|- B = ( Base ` K )
glbcon.u	|- U = ( lub ` K )
glbcon.g	|- G = ( glb ` K )
glbcon.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbconN	|- ( ( K e. HL /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, ._|_   x, S

Allowed substitution hints:   U( x)   G( x)   K( x)

Proof of Theorem glbconN

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfin5 3331	. . . 4 |- ( B i^i S ) = { x e. B | x e. S }
2		sseqin2 3564	. . . . 5 |- ( S C_ B <-> ( B i^i S ) = S )
3	2	biimpi 194	. . . 4 |- ( S C_ B -> ( B i^i S ) = S )
4	1, 3	syl5reqr 2485	. . 3 |- ( S C_ B -> S = { x e. B | x e. S } )
5	4	fveq2d 5690	. 2 |- ( S C_ B -> ( G ` S ) = ( G ` { x e. B | x e. S } ) )
6		glbcon.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
7		eqid 2438	. . . 4 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
8		glbcon.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
9		biid 236	. . . 4 |- ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) )
10		id 22	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. HL )
11		ssrab2 3432	. . . . 5 |- { x e. B | x e. S } C_ B
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( K e. HL -> { x e. B | x e. S } C_ B )
13	6, 7, 8, 9, 10, 12	glbval 15159	. . 3 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) = ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) )
14		hlop 32847	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. OP )
15		hlclat 32843	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
16	6, 8	clatglbcl 15276	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ { x e. B | x e. S } C_ B ) -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) e. B )
17	15, 11, 16	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) e. B )
18	13, 17	eqeltrrd 2513	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) e. B )
19		fvex 5696	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
20	6, 19	eqeltri 2508	. . . . . 6 |- B e. _V
21	20	riotaclbBAD 32446	. . . . 5 |- ( E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) <-> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) e. B )
22	18, 21	sylibr 212	. . . 4 |- ( K e. HL -> E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) )
23		glbcon.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( oc ` K )
24		breq1 4290	. . . . . . 7 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( y ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
25	24	ralbidv 2730	. . . . . 6 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
26		breq2 4291	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( w ( le ` K ) y <-> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
28	27	ralbidv 2730	. . . . . 6 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) <-> A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
29	25, 28	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( y = ( ._|_ ` v ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) )
30	6, 23, 29	riotaocN 32694	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ E! y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) = ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) )
31	14, 22, 30	syl2anc 661	. . 3 |- ( K e. HL -> ( iota_ y e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } y ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) y ) ) ) = ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) )
32	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> K e. OP )
33	6, 23	opoccl 32679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
34	32, 33	sylancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
35	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> K e. OP )
36	6, 23	opoccl 32679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
37	35, 36	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
38	6, 23	opococ 32680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. OP /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
39	35, 38	sylancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
40	39	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
41		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( ._|_ ` z ) -> ( ._|_ ` u ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
42	41	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( ._|_ ` z ) -> ( z = ( ._|_ ` u ) <-> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) ) )
43	42	rspcev 3068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ._|_ ` z ) e. B /\ z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
44	37, 40, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z e. B ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
45		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( z e. S <-> ( ._|_ ` u ) e. S ) )
46		breq2 4291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
47	45, 46	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ z = ( ._|_ ` u ) ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
49	34, 44, 48	ralxfrd 4501	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
50		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
51		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> v e. B )
52	6, 7, 23	oplecon3b 32685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( le ` K ) v <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
53	32, 50, 51, 52	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( le ` K ) v <-> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
54	53	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
55	54	ralbidva 2726	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
56	49, 55	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) ) )
57		eleq1 2498	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. S <-> z e. S ) )
58	57	ralrab 3116	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z ) )
59		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` u ) )
60	59	eleq1d 2504	. . . . . . . . 9 |- ( x = u -> ( ( ._|_ ` x ) e. S <-> ( ._|_ ` u ) e. S ) )
61	60	ralrab 3116	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) v ) )
62	56, 58, 61	3bitr4g 288	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z <-> A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v ) )
63	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> K e. OP )
64	6, 23	opoccl 32679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. OP /\ t e. B ) -> ( ._|_ ` t ) e. B )
65	63, 64	sylancom 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( ._|_ ` t ) e. B )
66	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> K e. OP )
67	6, 23	opoccl 32679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` w ) e. B )
68	66, 67	sylancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` w ) e. B )
69	6, 23	opococ 32680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. OP /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) = w )
70	66, 69	sylancom 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) = w )
71	70	eqcomd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) )
72		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( ._|_ ` w ) -> ( ._|_ ` t ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) )
73	72	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( ._|_ ` w ) -> ( w = ( ._|_ ` t ) <-> w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) ) )
74	73	rspcev 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ._|_ ` w ) e. B /\ w = ( ._|_ ` ( ._|_ ` w ) ) ) -> E. t e. B w = ( ._|_ ` t ) )
75	68, 71, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w e. B ) -> E. t e. B w = ( ._|_ ` t ) )
76		breq1 4290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( w ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
77	76	ralbidv 2730	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
78		breq1 4290	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
79	77, 78	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ._|_ ` t ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
80	79	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ w = ( ._|_ ` t ) ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
81	65, 75, 80	ralxfrd 4501	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> A. t e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
82	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> K e. OP )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
84		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> t e. B )
85	6, 7, 23	oplecon3b 32685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. OP /\ u e. B /\ t e. B ) -> ( u ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
86	82, 83, 84, 85	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
87	86	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
88	87	ralbidva 2726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
89	82, 33	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ u e. B ) -> ( ._|_ ` u ) e. B )
90	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> K e. OP )
91	90, 36	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` z ) e. B )
92	90, 38	sylancom 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) = z )
93	92	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> z = ( ._|_ ` ( ._|_ ` z ) ) )
94	91, 93, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z e. B ) -> E. u e. B z = ( ._|_ ` u ) )
95		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) )
96	45, 95	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ._|_ ` u ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
97	96	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) /\ z = ( ._|_ ` u ) ) -> ( ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
98	89, 94, 97	ralxfrd 4501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` u ) ) ) )
99	88, 98	bitr4d 256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) ) )
100	60	ralrab 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t <-> A. u e. B ( ( ._|_ ` u ) e. S -> u ( le ` K ) t ) )
101	57	ralrab 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z <-> A. z e. B ( z e. S -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
102	99, 100, 101	3bitr4g 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t <-> A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z ) )
103		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> v e. B )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> t e. B )
105	6, 7, 23	oplecon3b 32685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OP /\ v e. B /\ t e. B ) -> ( v ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
106	63, 103, 104, 105	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( v ( le ` K ) t <-> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) )
107	102, 106	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ v e. B ) /\ t e. B ) -> ( ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) <-> ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
108	107	ralbidva 2726	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) <-> A. t e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) z -> ( ._|_ ` t ) ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) )
109	81, 108	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) <-> A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) )
110	62, 109	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ v e. B ) -> ( ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) <-> ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
111	110	riotabidva 6064	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
112		ssrab2 3432	. . . . . 6 |- { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B
113		glbcon.u	. . . . . . 7 |- U = ( lub ` K )
114		biid 236	. . . . . . 7 |- ( ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) <-> ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) )
115		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B ) -> K e. HL )
116		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B ) -> { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B )
117	6, 7, 113, 114, 115, 116	lubval 15146	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } C_ B ) -> ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
118	112, 117	mpan2 671	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) = ( iota_ v e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) v /\ A. t e. B ( A. u e. { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } u ( le ` K ) t -> v ( le ` K ) t ) ) ) )
119	111, 118	eqtr4d 2473	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) = ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) )
120	119	fveq2d 5690	. . 3 |- ( K e. HL -> ( ._|_ ` ( iota_ v e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } ( ._|_ ` v ) ( le ` K ) z /\ A. w e. B ( A. z e. { x e. B | x e. S } w ( le ` K ) z -> w ( le ` K ) ( ._|_ ` v ) ) ) ) ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )
121	13, 31, 120	3eqtrd 2474	. 2 |- ( K e. HL -> ( G ` { x e. B | x e. S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )
122	5, 121	sylan9eqr 2492	1 |- ( ( K e. HL /\ S C_ B ) -> ( G ` S ) = ( ._|_ ` ( U ` { x e. B | ( ._|_ ` x ) e. S } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   E!wreu 2712   {crab 2714   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   iota_crio 6046   Basecbs 14166   lecple 14237   occoc 14238   lubclub 15104   glbcglb 15105   CLatccla 15269   OPcops 32657   HLchlt 32835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-riotaBAD 32444

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-undef 6784  df-lub 15136  df-glb 15137  df-clat 15270  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-hlat 32836

This theorem is referenced by:  glbconxN  32862