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Theorem glb0N 34008
Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glb0.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
glb0N  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 glb0.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 0ss 3814 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  K )
76a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (/)  C_  ( Base `  K ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 15484 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
9 glb0.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
101, 9op1cl 34000 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
11 ral0 3932 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y
1211a1bi 337 . . . . . 6  |-  ( z ( le `  K
) x  <->  ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )
1312ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  -> 
z ( le `  K ) x ) )
14 ral0 3932 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y
1514biantrur 506 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1613, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1710adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
18 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  .1.  ( le `  K ) x ) )
1918rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  K
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
2017, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
211, 2, 9op1le 34007 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
2220, 21sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  x  =  .1.  ) )
231, 2, 9ople1 34006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2524ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K )  .1.  )
)
26 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  z ( le `  K )  .1.  ) )
2726biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( z ( le `  K
)  .1.  ->  (
x  =  .1.  ->  z ( le `  K
) x ) )
2825, 27syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  ( x  =  .1. 
->  z ( le `  K ) x ) ) )
2928com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  ( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K ) x ) ) )
3029ralrimdv 2880 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  A. z  e.  (
Base `  K )
z ( le `  K ) x ) )
3122, 30impbid 191 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
3216, 31syl5bbr 259 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) )  <->  x  =  .1.  ) )
3310, 32riota5 6271 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
348, 33eqtrd 2508 1  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   iota_crio 6244   Basecbs 14490   lecple 14562   glbcglb 15430   1.cp1 15525   OPcops 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-poset 15433  df-lub 15461  df-glb 15462  df-p1 15527  df-oposet 33991
This theorem is referenced by:  pmapglb2N  34585  pmapglb2xN  34586
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