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Theorem glb0N 32671
Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glb0.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
glb0N  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2423 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 glb0.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 239 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 0ss 3731 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  K )
76a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (/)  C_  ( Base `  K ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 16181 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
9 glb0.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
101, 9op1cl 32663 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
11 ral0 3842 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y
1211a1bi 338 . . . . . 6  |-  ( z ( le `  K
) x  <->  ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )
1312ralbii 2791 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  -> 
z ( le `  K ) x ) )
14 ral0 3842 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y
1514biantrur 508 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1613, 15bitri 252 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1710adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
18 breq1 4364 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  .1.  ( le `  K ) x ) )
1918rspcv 3116 . . . . . . 7  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  K
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
2017, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
211, 2, 9op1le 32670 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
2220, 21sylibd 217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  x  =  .1.  ) )
231, 2, 9ople1 32669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2423adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2524ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K )  .1.  )
)
26 breq2 4365 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  z ( le `  K )  .1.  ) )
2726biimprcd 228 . . . . . . . 8  |-  ( z ( le `  K
)  .1.  ->  (
x  =  .1.  ->  z ( le `  K
) x ) )
2825, 27syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  ( x  =  .1. 
->  z ( le `  K ) x ) ) )
2928com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  ( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K ) x ) ) )
3029ralrimdv 2776 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  A. z  e.  (
Base `  K )
z ( le `  K ) x ) )
3122, 30impbid 193 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
3216, 31syl5bbr 262 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) )  <->  x  =  .1.  ) )
3310, 32riota5 6231 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
348, 33eqtrd 2457 1  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709    C_ wss 3374   (/)c0 3699   class class class wbr 4361   ` cfv 5539   iota_crio 6205   Basecbs 15059   lecple 15135   glbcglb 16126   1.cp1 16222   OPcops 32650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-preset 16111  df-poset 16129  df-lub 16158  df-glb 16159  df-p1 16224  df-oposet 32654
This theorem is referenced by:  pmapglb2N  33248  pmapglb2xN  33249
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