Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glb0N Structured version   Unicode version

Theorem glb0N 34008
 Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g
glb0.u
Assertion
Ref Expression
glb0N

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3
2 eqid 2467 . . 3
3 glb0.g . . 3
4 biid 236 . . 3
5 id 22 . . 3
6 0ss 3814 . . . 4
76a1i 11 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 15484 . 2
9 glb0.u . . . 4
101, 9op1cl 34000 . . 3
11 ral0 3932 . . . . . . 7
1211a1bi 337 . . . . . 6
1312ralbii 2895 . . . . 5
14 ral0 3932 . . . . . 6
1514biantrur 506 . . . . 5
1613, 15bitri 249 . . . 4
1710adantr 465 . . . . . . 7
18 breq1 4450 . . . . . . . 8
1918rspcv 3210 . . . . . . 7
2017, 19syl 16 . . . . . 6
211, 2, 9op1le 34007 . . . . . 6
2220, 21sylibd 214 . . . . 5
231, 2, 9ople1 34006 . . . . . . . . . 10
2423adantlr 714 . . . . . . . . 9
2524ex 434 . . . . . . . 8
26 breq2 4451 . . . . . . . . 9
2726biimprcd 225 . . . . . . . 8
2825, 27syl6 33 . . . . . . 7
2928com23 78 . . . . . 6
3029ralrimdv 2880 . . . . 5
3122, 30impbid 191 . . . 4
3216, 31syl5bbr 259 . . 3
3310, 32riota5 6271 . 2
348, 33eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476  c0 3785   class class class wbr 4447  cfv 5588  crio 6244  cbs 14490  cple 14562  cglb 15430  cp1 15525  cops 33987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-poset 15433  df-lub 15461  df-glb 15462  df-p1 15527  df-oposet 33991 This theorem is referenced by:  pmapglb2N  34585  pmapglb2xN  34586
 Copyright terms: Public domain W3C validator