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Theorem glb0N 32468
Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glb0.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
glb0.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
glb0N  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )

Proof of Theorem glb0N
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 glb0.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 239 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
5 id 23 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 0ss 3797 . . . 4  |-  (/)  C_  ( Base `  K )
76a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  (/)  C_  ( Base `  K ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7glbval 16194 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) ) ) )
9 glb0.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
101, 9op1cl 32460 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
11 ral0 3908 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y
1211a1bi 338 . . . . . 6  |-  ( z ( le `  K
) x  <->  ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x ) )
1312ralbii 2863 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  A. z  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  -> 
z ( le `  K ) x ) )
14 ral0 3908 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y
1514biantrur 508 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  z ( le `  K ) y  ->  z ( le `  K ) x )  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1613, 15bitri 252 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )
1710adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  ->  .1.  e.  ( Base `  K
) )
18 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  .1.  ( le `  K ) x ) )
1918rspcv 3184 . . . . . . 7  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  K
)  ->  ( A. z  e.  ( Base `  K ) z ( le `  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
2017, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  .1.  ( le `  K ) x ) )
211, 2, 9op1le 32467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
(  .1.  ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
2220, 21sylibd 217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  ->  x  =  .1.  ) )
231, 2, 9ople1 32466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2423adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  /\  z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
z ( le `  K )  .1.  )
2524ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K )  .1.  )
)
26 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  .1.  ->  (
z ( le `  K ) x  <->  z ( le `  K )  .1.  ) )
2726biimprcd 228 . . . . . . . 8  |-  ( z ( le `  K
)  .1.  ->  (
x  =  .1.  ->  z ( le `  K
) x ) )
2825, 27syl6 34 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  K )  ->  ( x  =  .1. 
->  z ( le `  K ) x ) ) )
2928com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  ( z  e.  (
Base `  K )  ->  z ( le `  K ) x ) ) )
3029ralrimdv 2848 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( x  =  .1. 
->  A. z  e.  (
Base `  K )
z ( le `  K ) x ) )
3122, 30impbid 193 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  K
) z ( le
`  K ) x  <-> 
x  =  .1.  )
)
3216, 31syl5bbr 262 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( A. y  e.  (/)  x ( le
`  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) )  <->  x  =  .1.  ) )
3310, 32riota5 6292 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  (/)  x ( le `  K ) y  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  (/)  z ( le
`  K ) y  ->  z ( le
`  K ) x ) ) )  =  .1.  )
348, 33eqtrd 2470 1  |-  ( K  e.  OP  ->  ( G `  (/) )  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   iota_crio 6266   Basecbs 15084   lecple 15159   glbcglb 16139   1.cp1 16235   OPcops 32447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-preset 16124  df-poset 16142  df-lub 16171  df-glb 16172  df-p1 16237  df-oposet 32451
This theorem is referenced by:  pmapglb2N  33045  pmapglb2xN  33046
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