Theorem glb0 16920

Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element.

Hypotheses

Ref	Expression
glb0.g	|- G = (glb` K)
glb0.t	|- T = (1.` K)

Assertion

Ref	Expression
glb0	|- (K e. OP -> (G` (/)) = T)

Proof of Theorem glb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2900	. . 3 |- (/) C_ (base` K)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (base` K) = (base` K)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (le` K) = (le` K)
4		glb0.g	. . . 4 |- G = (glb` K)
5	2, 3, 4	glbvalle 16811	. . 3 |- ((K e. OP /\ (/) C_ (base` K)) -> (G` (/)) = (iota_x e. (base` K)(A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))))
6	1, 5	mpan2 760	. 2 |- (K e. OP -> (G` (/)) = (iota_x e. (base` K)(A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))))
7		glb0.t	. . . 4 |- T = (1.` K)
8	2, 7	op1cl 16915	. . 3 |- (K e. OP -> T e. (base` K))
9		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (z = T -> (z(le` K)x <-> T(le` K)x))
10	9	rcla4v 2376	. . . . . . . 8 |- (T e. (base` K) -> (A.z e. (base` K)z(le` K)x -> T(le` K)x))
11	10	3ad2ant2 898	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> (A.z e. (base` K)z(le` K)x -> T(le` K)x))
12	2, 3, 7	op1le 16919	. . . . . . . 8 |- ((K e. OP /\ x e. (base` K)) -> (T(le` K)x <-> x = T))
13	12	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> (T(le` K)x <-> x = T))
14	11, 13	sylibd 219	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> (A.z e. (base` K)z(le` K)x -> x = T))
15		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (x = T -> (z(le` K)x <-> z(le` K)T))
16	2, 3, 7	ople1 16918	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OP /\ z e. (base` K)) -> z(le` K)T)
17	16	3ad2antl1 1038	. . . . . . . 8 |- (((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) /\ z e. (base` K)) -> z(le` K)T)
18	15, 17	syl5cbir 228	. . . . . . 7 |- (((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) /\ z e. (base` K)) -> (x = T -> z(le` K)x))
19	18	r19.21adva 2182	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> (x = T -> A.z e. (base` K)z(le` K)x))
20	14, 19	impbid 574	. . . . 5 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> (A.z e. (base` K)z(le` K)x <-> x = T))
21		ral0 2974	. . . . . . . 8 |- A.y e. (/) z(le` K)y
22	21	a1bi 214	. . . . . . 7 |- (z(le` K)x <-> (A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))
23	22	ralbii 2127	. . . . . 6 |- (A.z e. (base` K)z(le` K)x <-> A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))
24		ral0 2974	. . . . . . 7 |- A.y e. (/) x(le` K)y
25	24	biantrur 794	. . . . . 6 |- (A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x) <-> (A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x)))
26	23, 25	bitri 190	. . . . 5 |- (A.z e. (base` K)z(le` K)x <-> (A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x)))
27	20, 26	syl5bbr 593	. . . 4 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K) /\ x e. (base` K)) -> ((A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x)) <-> x = T))
28	27	riota5 5580	. . 3 |- ((K e. OP /\ T e. (base` K)) -> (iota_x e. (base` K)(A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))) = T)
29	8, 28	mpdan 768	. 2 |- (K e. OP -> (iota_x e. (base` K)(A.y e. (/) x(le` K)y /\ A.z e. (base` K)(A.y e. (/) z(le` K)y -> z(le` K)x))) = T)
30	6, 29	eqtrd 1925	1 |- (K e. OP -> (G` (/)) = T)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  iota_crio 5555  basecbs 16758  lecple 16759  glbcglb 16765  1.cp1 16833  OPcops 16837

This theorem is referenced by:  pmapglb2 17253  pmapglb2x 17254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-p1 16842  df-oposet 16905

Copyright terms: Public domain