MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ginvsn Structured version   Unicode version

Theorem ginvsn 23983
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ablsn.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ginvsn  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )

Proof of Theorem ginvsn
StepHypRef Expression
1 ablsn.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fvi 5852 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I 
`  A )  =  A
43opeq2i 4166 . . 3  |-  <. A , 
(  _I  `  A
) >.  =  <. A ,  A >.
54sneqi 3991 . 2  |-  { <. A ,  (  _I  `  A ) >. }  =  { <. A ,  A >. }
6 f1ovi 5780 . . . 4  |-  _I  : _V
-1-1-onto-> _V
7 f1of 5744 . . . 4  |-  (  _I  : _V -1-1-onto-> _V  ->  _I  : _V --> _V )
8 ffn 5662 . . . 4  |-  (  _I  : _V --> _V  ->  _I  Fn  _V )
96, 7, 8mp2b 10 . . 3  |-  _I  Fn  _V
10 fnressn 5998 . . 3  |-  ( (  _I  Fn  _V  /\  A  e.  _V )  ->  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A ,  (  _I 
`  A ) >. } )
119, 1, 10mp2an 672 . 2  |-  (  _I  |`  { A } )  =  { <. A , 
(  _I  `  A
) >. }
121grposn 23849 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp
13 opex 4659 . . . . . . 7  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
1413rnsnop 5423 . . . . . 6  |-  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { A }
1514eqcomi 2465 . . . . 5  |-  { A }  =  ran  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
16 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )
1715, 16grpoinvf 23874 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  GrpOp  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18 f1of 5744 . . . 4  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } )
1912, 17, 18mp2b 10 . . 3  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A }
201, 1fsn 5985 . . 3  |-  ( ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ) : { A } --> { A } 
<->  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. } )
2119, 20mpbi 208 . 2  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  { <. A ,  A >. }
225, 11, 213eqtr4ri 2492 1  |-  ( inv `  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } )  =  (  _I  |`  { A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980   <.cop 3986    _I cid 4734   ran crn 4944    |` cres 4945    Fn wfn 5516   -->wf 5517   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   GrpOpcgr 23820   invcgn 23822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator