Theorem ginvsn 25027

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ablsn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ginvsn	|- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Proof of Theorem ginvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsn.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		fvi 5922	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( _I ` A ) = A )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I ` A ) = A
4	3	opeq2i 4217	. . 3 |- <. A , ( _I ` A ) >. = <. A , A >.
5	4	sneqi 4038	. 2 |- { <. A , ( _I ` A ) >. } = { <. A , A >. }
6		f1ovi 5850	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
7		f1of 5814	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I : _V --> _V )
8		ffn 5729	. . . 4 |- ( _I : _V --> _V -> _I Fn _V )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 |- _I Fn _V
10		fnressn 6071	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. _V ) -> ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. } )
11	9, 1, 10	mp2an 672	. 2 |- ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. }
12	1	grposn 24893	. . . 4 |- { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp
13		opex 4711	. . . . . . 7 |- <. A , A >. e. _V
14	13	rnsnop 5487	. . . . . 6 |- ran { <. <. A , A >. , A >. } = { A }
15	14	eqcomi 2480	. . . . 5 |- { A } = ran { <. <. A , A >. , A >. }
16		eqid 2467	. . . . 5 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } )
17	15, 16	grpoinvf 24918	. . . 4 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18		f1of 5814	. . . 4 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } )
19	12, 17, 18	mp2b 10	. . 3 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A }
20	1, 1	fsn 6057	. . 3 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } <-> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. } )
21	19, 20	mpbi 208	. 2 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. }
22	5, 11, 21	3eqtr4ri 2507	1 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   _I cid 4790   ran crn 5000   |` cres 5001   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   GrpOpcgr 24864   invcgn 24866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871

This theorem is referenced by: (None)