Theorem ginvsn 23983

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ablsn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ginvsn	|- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Proof of Theorem ginvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsn.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		fvi 5852	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( _I ` A ) = A )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I ` A ) = A
4	3	opeq2i 4166	. . 3 |- <. A , ( _I ` A ) >. = <. A , A >.
5	4	sneqi 3991	. 2 |- { <. A , ( _I ` A ) >. } = { <. A , A >. }
6		f1ovi 5780	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
7		f1of 5744	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I : _V --> _V )
8		ffn 5662	. . . 4 |- ( _I : _V --> _V -> _I Fn _V )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 |- _I Fn _V
10		fnressn 5998	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. _V ) -> ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. } )
11	9, 1, 10	mp2an 672	. 2 |- ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. }
12	1	grposn 23849	. . . 4 |- { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp
13		opex 4659	. . . . . . 7 |- <. A , A >. e. _V
14	13	rnsnop 5423	. . . . . 6 |- ran { <. <. A , A >. , A >. } = { A }
15	14	eqcomi 2465	. . . . 5 |- { A } = ran { <. <. A , A >. , A >. }
16		eqid 2452	. . . . 5 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } )
17	15, 16	grpoinvf 23874	. . . 4 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18		f1of 5744	. . . 4 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } )
19	12, 17, 18	mp2b 10	. . 3 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A }
20	1, 1	fsn 5985	. . 3 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } <-> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. } )
21	19, 20	mpbi 208	. 2 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. }
22	5, 11, 21	3eqtr4ri 2492	1 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {csn 3980   <.cop 3986   _I cid 4734   ran crn 4944   |` cres 4945   Fn wfn 5516   -->wf 5517   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   GrpOpcgr 23820   invcgn 23822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827

This theorem is referenced by: (None)