Theorem ginvsn 25552

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ablsn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ginvsn	|- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Proof of Theorem ginvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsn.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		fvi 5905	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( _I ` A ) = A )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( _I ` A ) = A
4	3	opeq2i 4207	. . 3 |- <. A , ( _I ` A ) >. = <. A , A >.
5	4	sneqi 4027	. 2 |- { <. A , ( _I ` A ) >. } = { <. A , A >. }
6		f1ovi 5834	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
7		f1of 5798	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I : _V --> _V )
8		ffn 5713	. . . 4 |- ( _I : _V --> _V -> _I Fn _V )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 |- _I Fn _V
10		fnressn 6059	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. _V ) -> ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. } )
11	9, 1, 10	mp2an 670	. 2 |- ( _I |` { A } ) = { <. A , ( _I ` A ) >. }
12	1	grposn 25418	. . . 4 |- { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp
13		opex 4701	. . . . . . 7 |- <. A , A >. e. _V
14	13	rnsnop 5472	. . . . . 6 |- ran { <. <. A , A >. , A >. } = { A }
15	14	eqcomi 2467	. . . . 5 |- { A } = ran { <. <. A , A >. , A >. }
16		eqid 2454	. . . . 5 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } )
17	15, 16	grpoinvf 25443	. . . 4 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } e. GrpOp -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } )
18		f1of 5798	. . . 4 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } -1-1-onto-> { A } -> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } )
19	12, 17, 18	mp2b 10	. . 3 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A }
20	1, 1	fsn 6045	. . 3 |- ( ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) : { A } --> { A } <-> ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. } )
21	19, 20	mpbi 208	. 2 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = { <. A , A >. }
22	5, 11, 21	3eqtr4ri 2494	1 |- ( inv ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = ( _I |` { A } )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022   _I cid 4779   ran crn 4989   |` cres 4990   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   GrpOpcgr 25389   invcgn 25391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396

This theorem is referenced by: (None)