MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gimghm Structured version   Unicode version

Theorem gimghm 16634
Description: An isomorphism of groups is a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gimghm  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )

Proof of Theorem gimghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
31, 2isgim 16632 . 2  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  <->  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  /\  F : (
Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  S ) ) )
43simplbi 458 1  |-  ( F  e.  ( R GrpIso  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839    GrpHom cghm 16586   GrpIso cgim 16627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-ghm 16587  df-gim 16629
This theorem is referenced by:  subggim  16636  giclcl  16642  gicrcl  16643  gicsubgen  16648  symgtrinv  16819  giccyg  17224  gsumzinv  17290  gsumzinvOLD  17291  amgmlem  23643  abliso  28124  gicabl  35391
  Copyright terms: Public domain W3C validator