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Theorem gicabl 31022
Description: Being Abelian is a group invariant. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
gicabl  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)

Proof of Theorem gicabl
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 16295 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3780 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 16290 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 ghmgrp1 16247 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Grp )
6 ghmgrp2 16248 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Grp )
85, 72thd 240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Grp  <->  H  e.  Grp ) )
9 grpmnd 16040 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
105, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Mnd )
11 grpmnd 16040 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Mnd )
1310, 122thd 240 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Mnd  <->  H  e.  Mnd ) )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1614, 15gimf1o 16289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
17 f1of1 5805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H
) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x : ( Base `  G
) -1-1-> ( Base `  H
) )
205adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2414, 23grpcl 16041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2520, 21, 22, 24syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
2614, 23grpcl 16041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
2720, 22, 21, 26syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( z ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
28 f1fveq 6155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H )  /\  (
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  (
Base `  G )
) )  ->  (
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
2919, 25, 27, 28syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
303adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3214, 23, 31ghmlin 16250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) ( x `  z ) ) )
3330, 21, 22, 32syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) ) )
3414, 23, 31ghmlin 16250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) )
3530, 22, 21, 34syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
z ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( x `
 z ) ( +g  `  H ) ( x `  y
) ) )
3633, 35eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
3729, 36bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
38372ralbidva 2885 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
39 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
40 foima 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  ( x " ( Base `  G ) )  =  ( Base `  H
) )
4216, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4342raleqdv 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
44 f1ofn 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x  Fn  ( Base `  G ) )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  Fn  ( Base `  G )
)
46 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
47 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) ( x `
 z ) ) )
48 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
4947, 48eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `  y
) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5049ralima 6137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5145, 46, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5243, 51bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5352ralbidv 2882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5438, 53bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5542raleqdv 3046 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
56 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
w ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v ) )
57 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
v ( +g  `  H
) w )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
5856, 57eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5958ralbidv 2882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
6059ralima 6137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6145, 46, 60sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6255, 61bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6354, 62bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
6413, 63anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Mnd  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) )  <-> 
( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) ) )
6514, 23iscmn 16783 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. y  e.  (
Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( y ( +g  `  G
) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) ) )
6615, 31iscmn 16783 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) )
6764, 65, 663bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CMnd  <-> 
H  e. CMnd ) )
688, 67anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) ) )
69 isabl 16780 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
70 isabl 16780 . . . . 5  |-  ( H  e.  Abel  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) )
7168, 69, 703bitr4g 288 . . . 4  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
7271exlimiv 1709 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
732, 72sylbi 195 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
741, 73sylbi 195 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   "cima 4992    Fn wfn 5573   -1-1->wf1 5575   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   Mndcmnd 15897   Grpcgrp 16031    GrpHom cghm 16242   GrpIso cgim 16283    ~=ph𝑔 cgic 16284  CMndccmn 16776   Abelcabl 16777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-1o 7132  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-ghm 16243  df-gim 16285  df-gic 16286  df-cmn 16778  df-abl 16779
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  31025
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