Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gicabl Structured version   Unicode version

Theorem gicabl 29457
Description: Being Abelian is a group invariant. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
gicabl  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)

Proof of Theorem gicabl
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 15800 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H 
<->  ( G GrpIso  H )  =/=  (/) )
2 n0 3649 . . 3  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G GrpIso  H ) )
3 gimghm 15795 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
4 ghmgrp1 15752 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Grp )
6 ghmgrp2 15753 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
73, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Grp )
85, 72thd 240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Grp  <->  H  e.  Grp ) )
9 grpmnd 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
105, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  G  e.  Mnd )
11 grpmnd 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  H  e.  Mnd )
1310, 122thd 240 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Mnd  <->  H  e.  Mnd ) )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1614, 15gimf1o 15794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-onto-> ( Base `  H ) )
17 f1of1 5643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x :
( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H
) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x : ( Base `  G
) -1-1-> ( Base `  H
) )
205adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2414, 23grpcl 15554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2520, 21, 22, 24syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
2614, 23grpcl 15554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
2720, 22, 21, 26syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( z ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
28 f1fveq 5978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x : ( Base `  G ) -1-1-> ( Base `  H )  /\  (
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  (
Base `  G )
) )  ->  (
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
2919, 25, 27, 28syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) ) )
303adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( G  GrpHom  H ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3214, 23, 31ghmlin 15755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  y  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) ( x `  z ) ) )
3330, 21, 22, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) ) )
3414, 23, 31ghmlin 15755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x `  ( z ( +g  `  G ) y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) )
3530, 22, 21, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x `  (
z ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( x `
 z ) ( +g  `  H ) ( x `  y
) ) )
3633, 35eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x `  ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x `
 ( z ( +g  `  G ) y ) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
3729, 36bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( G GrpIso  H )  /\  (
y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
38372ralbidva 2758 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
39 f1ofo 5651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x : ( Base `  G ) -onto-> ( Base `  H ) )
40 foima 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x : ( Base `  G
) -onto-> ( Base `  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  ( x " ( Base `  G ) )  =  ( Base `  H
) )
4216, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( x " ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
4342raleqdv 2926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
44 f1ofn 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x : ( Base `  G
)
-1-1-onto-> ( Base `  H )  ->  x  Fn  ( Base `  G ) )
4516, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  x  Fn  ( Base `  G )
)
46 ssid 3378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
47 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) ( x `
 z ) ) )
48 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
4947, 48eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( x `  z )  ->  (
( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `  y
) )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5049ralima 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5145, 46, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( x " ( Base `  G
) ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5243, 51bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y ) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) ( x `  z ) )  =  ( ( x `  z ) ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
5352ralbidv 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) ( x `  z
) )  =  ( ( x `  z
) ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5438, 53bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5542raleqdv 2926 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
56 oveq1 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
w ( +g  `  H
) v )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  H ) v ) )
57 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
v ( +g  `  H
) w )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) )
5856, 57eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  (
( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  ( (
x `  y )
( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
5958ralbidv 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x `  y )  ->  ( A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w )  <->  A. v  e.  ( Base `  H ) ( ( x `  y
) ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) ( x `
 y ) ) ) )
6059ralima 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  Fn  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6145, 46, 60sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( x " ( Base `  G
) ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6255, 61bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. w  e.  ( Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( ( x `
 y ) ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) ( x `  y ) ) ) )
6354, 62bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y )  <->  A. w  e.  ( Base `  H
) A. v  e.  ( Base `  H
) ( w ( +g  `  H ) v )  =  ( v ( +g  `  H
) w ) ) )
6413, 63anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Mnd  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G
) ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( z ( +g  `  G
) y ) )  <-> 
( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) ) )
6514, 23iscmn 16287 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\ 
A. y  e.  (
Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( y ( +g  `  G
) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) ) )
6615, 31iscmn 16287 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CMnd 
<->  ( H  e.  Mnd  /\ 
A. w  e.  (
Base `  H ) A. v  e.  ( Base `  H ) ( w ( +g  `  H
) v )  =  ( v ( +g  `  H ) w ) ) )
6764, 65, 663bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e. CMnd  <-> 
H  e. CMnd ) )
688, 67anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e. CMnd )  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) ) )
69 isabl 16284 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
70 isabl 16284 . . . . 5  |-  ( H  e.  Abel  <->  ( H  e. 
Grp  /\  H  e. CMnd ) )
7168, 69, 703bitr4g 288 . . . 4  |-  ( x  e.  ( G GrpIso  H
)  ->  ( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
7271exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( G GrpIso  H )  -> 
( G  e.  Abel  <->  H  e.  Abel ) )
732, 72sylbi 195 . 2  |-  ( ( G GrpIso  H )  =/=  (/)  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
741, 73sylbi 195 1  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  ( G  e. 
Abel 
<->  H  e.  Abel )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718    C_ wss 3331   (/)c0 3640   class class class wbr 4295   "cima 4846    Fn wfn 5416   -1-1->wf1 5418   -onto->wfo 5419   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   Mndcmnd 15412   Grpcgrp 15413    GrpHom cghm 15747   GrpIso cgim 15788    ~=ph𝑔 cgic 15789  CMndccmn 16280   Abelcabel 16281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-1o 6923  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-ghm 15748  df-gim 15790  df-gic 15791  df-cmn 16282  df-abl 16283
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  29460
  Copyright terms: Public domain W3C validator