Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghsubgolemOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ghsubgolemOLD 26098
 Description: Obsolete as of 14-Mar-2020. The image of a subgroup of group under a group homomorphism on is a group, and furthermore is Abelian if is Abelian. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghsubgoOLD.1
ghsubgoOLD.2
ghsubgoOLD.3
ghsubgoOLD.4
ghsubgoOLD.5
ghsubgoOLD.6
ghsubgoOLD.7
ghsubgoOLD.8
ghsubgoOLD.9
Assertion
Ref Expression
ghsubgolemOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ghsubgolemOLD
StepHypRef Expression
1 ghsubgoOLD.3 . . . . 5
2 ffun 5731 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 ghsubgoOLD.1 . . . . . 6
5 ghsubgoOLD.2 . . . . . . 7
6 ghsubgoOLD.7 . . . . . . 7
75, 6subgornss 26034 . . . . . 6
84, 7syl 17 . . . . 5
9 fdm 5733 . . . . . 6
101, 9syl 17 . . . . 5
118, 10sseqtr4d 3469 . . . 4
12 fores 5802 . . . 4
133, 11, 12syl2anc 667 . . 3
14 ssel2 3427 . . . . . . 7
15 ssel2 3427 . . . . . . 7
1614, 15anim12dan 848 . . . . . 6
178, 16sylan 474 . . . . 5
18 ghsubgoOLD.6 . . . . 5
1917, 18syldan 473 . . . 4
20 issubgo 26031 . . . . . . . . 9
2120simp2bi 1024 . . . . . . . 8
224, 21syl 17 . . . . . . 7
236grpocl 25928 . . . . . . . 8
24233expb 1209 . . . . . . 7
2522, 24sylan 474 . . . . . 6
26 fvres 5879 . . . . . 6
2725, 26syl 17 . . . . 5
286subgoov 26033 . . . . . . 7
294, 28sylan 474 . . . . . 6
3029fveq2d 5869 . . . . 5
3127, 30eqtrd 2485 . . . 4
32 fvres 5879 . . . . . 6
33 fvres 5879 . . . . . 6
3432, 33oveqan12d 6309 . . . . 5
3534adantl 468 . . . 4
3619, 31, 353eqtr4d 2495 . . 3
37 ghsubgoOLD.9 . . . 4
38 ghsubgoOLD.8 . . . . . 6
3938, 38xpeq12i 4856 . . . . 5
4039reseq2i 5102 . . . 4
4137, 40eqtri 2473 . . 3
42 imassrn 5179 . . . . 5
43 frn 5735 . . . . . 6
441, 43syl 17 . . . . 5
4542, 44syl5ss 3443 . . . 4
46 ghsubgoOLD.4 . . . 4
4745, 46sstrd 3442 . . 3
48 ghsubgoOLD.5 . . 3
4913, 36, 41, 6, 47, 48, 22ghgrpOLD 26096 . 2
5013adantr 467 . . . 4
5136adantlr 721 . . . 4
5247adantr 467 . . . 4
5348adantr 467 . . . 4
54 simpr 463 . . . 4
5550, 51, 41, 6, 52, 53, 54ghabloOLD 26097 . . 3
5655ex 436 . 2
5749, 56jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wss 3404   cxp 4832   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  wfo 5580  cfv 5582  (class class class)co 6290  cgr 25914  cablo 26009  csubgo 26029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-gdiv 25922  df-ablo 26010  df-subgo 26030 This theorem is referenced by:  ghsubgoOLD  26099  ghsubabloOLD  26100
 Copyright terms: Public domain W3C validator