Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghsubgolem Structured version   Unicode version

Theorem ghsubgolem 24010
 Description: The image of a subgroup of group under a group homomorphism on is a group, and furthermore is Abelian if is Abelian. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghsubgo.1
ghsubgo.2
ghsubgo.3
ghsubgo.4
ghsubgo.5
ghsubgo.6
ghsubgo.7
ghsubgo.8
ghsubgo.9
Assertion
Ref Expression
ghsubgolem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem ghsubgolem
StepHypRef Expression
1 ghsubgo.3 . . . . 5
2 ffun 5670 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 ghsubgo.1 . . . . . 6
5 ghsubgo.2 . . . . . . 7
6 ghsubgo.7 . . . . . . 7
75, 6subgornss 23946 . . . . . 6
84, 7syl 16 . . . . 5
9 fdm 5672 . . . . . 6
101, 9syl 16 . . . . 5
118, 10sseqtr4d 3502 . . . 4
12 fores 5738 . . . 4
133, 11, 12syl2anc 661 . . 3
14 ssel2 3460 . . . . . . 7
15 ssel2 3460 . . . . . . 7
1614, 15anim12dan 833 . . . . . 6
178, 16sylan 471 . . . . 5
18 ghsubgo.6 . . . . 5
1917, 18syldan 470 . . . 4
20 issubgo 23943 . . . . . . . . 9
2120simp2bi 1004 . . . . . . . 8
224, 21syl 16 . . . . . . 7
236grpocl 23840 . . . . . . . 8
24233expb 1189 . . . . . . 7
2522, 24sylan 471 . . . . . 6
26 fvres 5814 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
286subgoov 23945 . . . . . . 7
294, 28sylan 471 . . . . . 6
3029fveq2d 5804 . . . . 5
3127, 30eqtrd 2495 . . . 4
32 fvres 5814 . . . . . 6
33 fvres 5814 . . . . . 6
3432, 33oveqan12d 6220 . . . . 5
3534adantl 466 . . . 4
3619, 31, 353eqtr4d 2505 . . 3
37 ghsubgo.9 . . . 4
38 ghsubgo.8 . . . . . 6
3938, 38xpeq12i 4971 . . . . 5
4039reseq2i 5216 . . . 4
4137, 40eqtri 2483 . . 3
42 imassrn 5289 . . . . 5
43 frn 5674 . . . . . 6
441, 43syl 16 . . . . 5
4542, 44syl5ss 3476 . . . 4
46 ghsubgo.4 . . . 4
4745, 46sstrd 3475 . . 3
48 ghsubgo.5 . . 3
4913, 36, 41, 6, 47, 48, 22ghgrp 24008 . 2
5013adantr 465 . . . 4
5136adantlr 714 . . . 4
5247adantr 465 . . . 4
5348adantr 465 . . . 4
54 simpr 461 . . . 4
5550, 51, 41, 6, 52, 53, 54ghablo 24009 . . 3
5655ex 434 . 2
5749, 56jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wss 3437   cxp 4947   cdm 4949   crn 4950   cres 4951  cima 4952   wfun 5521   wfn 5522  wf 5523  wfo 5525  cfv 5527  (class class class)co 6201  cgr 23826  cablo 23921  csubgo 23941 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-subgo 23942 This theorem is referenced by:  ghsubgo  24011  ghsubablo  24012
 Copyright terms: Public domain W3C validator