Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ghomsn Structured version   Unicode version

Theorem ghomsn 30085
 Description: The endomorphism of the trivial group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomsn.1
ghomsn.2
Assertion
Ref Expression
ghomsn GrpOpHom

Proof of Theorem ghomsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5866 . . 3
2 f1of 5831 . . 3
31, 2ax-mp 5 . 2
4 elsn 4016 . . . . 5
5 elsn 4016 . . . . 5
6 fveq2 5881 . . . . . . . 8
7 ghomsn.1 . . . . . . . . . 10
87snid 4030 . . . . . . . . 9
9 fvresi 6105 . . . . . . . . 9
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8
116, 10syl6eq 2486 . . . . . . 7
12 fveq2 5881 . . . . . . . 8
1312, 10syl6eq 2486 . . . . . . 7
1411, 13oveqan12d 6324 . . . . . 6
15 oveq12 6314 . . . . . 6
1614, 15eqtr4d 2473 . . . . 5
174, 5, 16syl2anb 481 . . . 4
18 ghomsn.2 . . . . . . 7
197grposn 25779 . . . . . . 7
2018, 19eqeltri 2513 . . . . . 6
2118rneqi 5081 . . . . . . . 8
22 opex 4686 . . . . . . . . 9
2322rnsnop 5337 . . . . . . . 8
2421, 23eqtr2i 2459 . . . . . . 7
2524grpocl 25764 . . . . . 6
2620, 25mp3an1 1347 . . . . 5
27 fvresi 6105 . . . . 5
2826, 27syl 17 . . . 4
2917, 28eqtr4d 2473 . . 3
3029rgen2a 2859 . 2
3124, 24elghomOLD 25927 . . 3 GrpOpHom
3220, 20, 31mp2an 676 . 2 GrpOpHom
333, 30, 32mpbir2an 928 1 GrpOpHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087  csn 4002  cop 4008   cid 4764   crn 4855   cres 4856  wf 5597  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  cgr 25750   GrpOpHom cghomOLD 25921 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-grpo 25755  df-ghomOLD 25922 This theorem is referenced by:  ghomgrplem  30086
 Copyright terms: Public domain W3C validator