Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ghomfo Structured version   Unicode version

Theorem ghomfo 30311
 Description: A group homomorphism maps onto its image. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomfo.1
ghomfo.2
ghomfo.3
ghomfo.4
Assertion
Ref Expression
ghomfo GrpOpHom

Proof of Theorem ghomfo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghomfo.1 . . . . . 6
2 eqid 2423 . . . . . 6
31, 2elghomOLD 26083 . . . . 5 GrpOpHom
43biimp3a 1365 . . . 4 GrpOpHom
54simpld 461 . . 3 GrpOpHom
6 ffn 5744 . . 3
75, 6syl 17 . 2 GrpOpHom
8 ghomfo.3 . . . . . 6
98dmeqi 5053 . . . . 5
10 ghomfo.2 . . . . . . . . 9
1110, 8ghomgrp 30310 . . . . . . . 8 GrpOpHom
12 issubgo 26023 . . . . . . . 8
1311, 12sylib 200 . . . . . . 7 GrpOpHom
1413simp2d 1019 . . . . . 6 GrpOpHom
15 ghomfo.4 . . . . . . 7
1615grpofo 25919 . . . . . 6
17 fof 5808 . . . . . 6
18 fdm 5748 . . . . . 6
1914, 16, 17, 184syl 19 . . . . 5 GrpOpHom
20 frn 5750 . . . . . . . . 9
215, 20syl 17 . . . . . . . 8 GrpOpHom
2210, 21syl5eqss 3509 . . . . . . 7 GrpOpHom
23 xpss12 4957 . . . . . . 7
2422, 22, 23syl2anc 666 . . . . . 6 GrpOpHom
25 ssdmres 5143 . . . . . . . 8
262grpofo 25919 . . . . . . . . . 10
27 fof 5808 . . . . . . . . . 10
28 fdm 5748 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . 9
3029sseq2d 3493 . . . . . . . 8
3125, 30syl5rbbr 264 . . . . . . 7
32313ad2ant2 1028 . . . . . 6 GrpOpHom
3324, 32mpbid 214 . . . . 5 GrpOpHom
349, 19, 333eqtr3a 2488 . . . 4 GrpOpHom
35 xpid11 5073 . . . 4
3634, 35sylib 200 . . 3 GrpOpHom
3736, 10syl6req 2481 . 2 GrpOpHom
38 df-fo 5605 . 2
397, 37, 38sylanbrc 669 1 GrpOpHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869  wral 2776   wss 3437   cxp 4849   cdm 4851   crn 4852   cres 4853   wfn 5594  wf 5595  wfo 5597  cfv 5599  (class class class)co 6303  cgr 25906  csubgo 26021   GrpOpHom cghomOLD 26077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-subgo 26022  df-ghomOLD 26078 This theorem is referenced by:  ghomcl  30312  ghomgsg  30313  ghomf1olem  30314
 Copyright terms: Public domain W3C validator