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Theorem ghomf1olem 27311
Description: Lemma for ghomf1o 27312. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomf1olem.1  |-  X  =  ran  G
ghomf1olem.2  |-  Y  =  ran  F
ghomf1olem.3  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghomf1olem.4  |-  Z  =  ran  S
ghomf1olem.5  |-  U  =  (GId `  G )
ghomf1olem.6  |-  T  =  (GId `  H )
ghomf1olem.7  |-  N  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
ghomf1olem  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, T    x, U    x, X    x, Z    x, N
Allowed substitution hints:    S( x)    Y( x)

Proof of Theorem ghomf1olem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5638 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  F : X -1-1-> Z )
2 dff13 5969 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-> Z  <->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
31, 2sylib 196 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5 ghomf1olem.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
6 ghomf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  G )
75, 6grpoidcl 23702 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  U  e.  X )
8 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) ) )
10 equequ1 1736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  <->  x  =  z ) )
119, 10imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  z
)  ->  x  =  z ) ) )
12 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U  ->  ( F `  z )  =  ( F `  U ) )
1312eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  U ) ) )
14 eqeq2 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
x  =  z  <->  x  =  U ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  z )  ->  x  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) )
1611, 15rspc2v 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  U  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) )
1716expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) ) )
187, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) ) )
1918com23 78 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
20193ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
214, 20syl5 32 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
22 ghomf1olem.6 . . . . . . . 8  |-  T  =  (GId `  H )
236, 22ghomid 23850 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  U )  =  T )
2423eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  <->  ( F `  x )  =  T ) )
2524imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( x  e.  X  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
)  <->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2721, 26sylibd 214 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2827ralrimdv 2803 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
29 ghomf1olem.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ran  F
30 ghomf1olem.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
31 ghomf1olem.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ran  S
325, 29, 30, 31ghomfo 27308 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X -onto-> Z )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -onto-> Z )
34 fof 5618 . . . . . 6  |-  ( F : X -onto-> Z  ->  F : X --> Z )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X --> Z )
36 ghomf1olem.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( inv `  G
)
375, 36grpoinvcl 23711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
38373adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
395grpocl 23685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
4038, 39syld3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
41403expib 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y G ( N `  z ) )  e.  X ) )
42413ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X ) )
43 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) ) )
4443eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( F `  x
)  =  T  <->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
45 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
x  =  U  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
4746rspcv 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y G ( N `
 z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) )
4842, 47syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) ) )
4948imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T  -> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
50 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H ( F `
 ( N `  z ) ) )  =  ( ( F `
 z ) H ( F `  ( N `  z )
) ) )
51503ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( ( F `  z ) H ( F `  ( N `  z ) ) ) )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
53373ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
5453adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( N `  z
)  e.  X )
5552, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
565ghomlin 23849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
5755, 56syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
58573adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
6059, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
615ghomlin 23849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( z  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
6260, 61syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
635, 6, 36grporinv 23714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
64633ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
6564adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G ( N `  z ) )  =  U )
6665fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
z G ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 U ) )
6723adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  U
)  =  T )
6862, 66, 673eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
69683adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
7051, 58, 693eqtr3d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T )
71703expia 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
72 equcom 1732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
735, 36grpo2inv 23724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
74733adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
7574eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  z  =  y ) )
765, 6, 36grpoinvid2 23716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( N `  z )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
77763com23 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7838, 77syld3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7975, 78bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8072, 79syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y  =  z  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
81803expb 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( y G ( N `  z
) )  =  U ) )
82813ad2antl1 1150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8382biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y G ( N `  z
) )  =  U  ->  y  =  z ) )
8471, 83imim12d 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8549, 84syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8685impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  -> 
( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8786ralrimivv 2805 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8835, 87, 2sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-> Z )
89 df-f1o 5423 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  <->  ( F : X -1-1-> Z  /\  F : X -onto-> Z ) )
9088, 33, 89sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Z )
9190ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  F : X -1-1-onto-> Z ) )
9228, 91impbid 191 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    X. cxp 4836   ran crn 4839    |` cres 4840   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413   -onto->wfo 5414   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   GrpOpcgr 23671  GIdcgi 23672   invcgn 23673   GrpOpHom cghom 23842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-subgo 23787  df-ghom 23843
This theorem is referenced by:  ghomf1o  27312
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