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Theorem ghomf1olem 30360
Description: Lemma for ghomf1o 30361. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ghomf1olem.1  |-  X  =  ran  G
ghomf1olem.2  |-  Y  =  ran  F
ghomf1olem.3  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghomf1olem.4  |-  Z  =  ran  S
ghomf1olem.5  |-  U  =  (GId `  G )
ghomf1olem.6  |-  T  =  (GId `  H )
ghomf1olem.7  |-  N  =  ( inv `  G
)
Assertion
Ref Expression
ghomf1olem  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, H    x, T    x, U    x, X    x, Z    x, N
Allowed substitution hints:    S( x)    Y( x)

Proof of Theorem ghomf1olem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5835 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  F : X -1-1-> Z )
2 dff13 6183 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-> Z  <->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
31, 2sylib 201 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  ( F : X --> Z  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
43simprd 469 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5 ghomf1olem.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
6 ghomf1olem.5 . . . . . . . . 9  |-  U  =  (GId `  G )
75, 6grpoidcl 25993 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  U  e.  X )
8 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) ) )
10 equequ1 1877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  z  <->  x  =  z ) )
119, 10imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  z
)  ->  x  =  z ) ) )
12 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  U  ->  ( F `  z )  =  ( F `  U ) )
1312eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 z )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  U ) ) )
14 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  U  ->  (
x  =  z  <->  x  =  U ) )
1513, 14imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  U  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  z )  ->  x  =  z )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) )
1611, 15rspc2v 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  U  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) )
1716expcom 441 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  X  ->  (
x  e.  X  -> 
( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
) ) )
187, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( x  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  ->  x  =  U ) ) ) )
1918com23 81 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z )  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
20193ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z )  -> 
( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
214, 20syl5 33 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U ) ) ) )
22 ghomf1olem.6 . . . . . . . 8  |-  T  =  (GId `  H )
236, 22ghomidOLD 26141 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F `  U )  =  T )
2423eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  U
)  <->  ( F `  x )  =  T ) )
2524imbi1d 323 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( F `  U )  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
2625imbi2d 322 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( x  e.  X  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 U )  ->  x  =  U )
)  <->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2721, 26sylibd 222 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  ( x  e.  X  ->  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) ) )
2827ralrimdv 2815 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
29 ghomf1olem.2 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ran  F
30 ghomf1olem.3 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( H  |`  ( Y  X.  Y ) )
31 ghomf1olem.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ran  S
325, 29, 30, 31ghomfo 30357 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  F : X -onto-> Z )
3332adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -onto-> Z )
34 fof 5815 . . . . . 6  |-  ( F : X -onto-> Z  ->  F : X --> Z )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X --> Z )
36 ghomf1olem.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( inv `  G
)
375, 36grpoinvcl 26002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
38373adant2 1033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
395grpocl 25976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
4038, 39syld3an3 1321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X )
41403expib 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y G ( N `  z ) )  e.  X ) )
42413ad2ant1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G ( N `
 z ) )  e.  X ) )
43 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) ) )
4443eqeq1d 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( F `  x
)  =  T  <->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
45 eqeq1 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
x  =  U  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
4644, 45imbi12d 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y G ( N `  z
) )  ->  (
( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  <->  ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
4746rspcv 3157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y G ( N `
 z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) )
4842, 47syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  ( ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T  ->  (
y G ( N `
 z ) )  =  U ) ) ) )
4948imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T  -> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) ) )
50 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H ( F `
 ( N `  z ) ) )  =  ( ( F `
 z ) H ( F `  ( N `  z )
) ) )
51503ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( ( F `  z ) H ( F `  ( N `  z ) ) ) )
52 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
53373ad2antl1 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  z )  e.  X )
5453adantrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( N `  z
)  e.  X )
5552, 54jca 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
565ghomlinOLD 26140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
5755, 56syldan 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
58573adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  y ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) ) )
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
6059, 54jca 539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  /\  ( N `  z
)  e.  X ) )
615ghomlinOLD 26140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( z  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
6260, 61syldan 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 ( z G ( N `  z
) ) ) )
635, 6, 36grporinv 26005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
64633ad2antl1 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z G ( N `
 z ) )  =  U )
6564adantrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G ( N `  z ) )  =  U )
6665fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
z G ( N `
 z ) ) )  =  ( F `
 U ) )
6723adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  U
)  =  T )
6862, 66, 673eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
69683adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  z ) H ( F `  ( N `
 z ) ) )  =  T )
7051, 58, 693eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  /\  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )  -> 
( F `  (
y G ( N `
 z ) ) )  =  T )
71703expia 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  ( F `  ( y G ( N `  z ) ) )  =  T ) )
72 equcom 1872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
735, 36grpo2inv 26015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
74733adant2 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( N `  ( N `  z ) )  =  z )
7574eqeq1d 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  z  =  y ) )
765, 6, 36grpoinvid2 26007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  ( N `  z )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
77763com23 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  ( N `  z )  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7838, 77syld3an3 1321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( N `  ( N `  z )
)  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
7975, 78bitr3d 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =  y  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8072, 79syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y  =  z  <->  ( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
81803expb 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( y G ( N `  z
) )  =  U ) )
82813ad2antl1 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( y G ( N `  z ) )  =  U ) )
8382biimprd 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y G ( N `  z
) )  =  U  ->  y  =  z ) )
8471, 83imim12d 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 ( y G ( N `  z
) ) )  =  T  ->  ( y G ( N `  z ) )  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8549, 84syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( F `
 x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8685impancom 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  -> 
( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8786ralrimivv 2819 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8835, 87, 2sylanbrc 675 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-> Z )
89 df-f1o 5607 . . . 4  |-  ( F : X -1-1-onto-> Z  <->  ( F : X -1-1-> Z  /\  F : X -onto-> Z ) )
9088, 33, 89sylanbrc 675 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H )
)  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Z )
9190ex 440 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U )  ->  F : X -1-1-onto-> Z ) )
9228, 91impbid 195 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  F  e.  ( G GrpOpHom  H ) )  ->  ( F : X
-1-1-onto-> Z 
<-> 
A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  T  ->  x  =  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748    X. cxp 4850   ran crn 4853    |` cres 4854   -->wf 5596   -1-1->wf1 5597   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   GrpOpcgr 25962  GIdcgi 25963   invcgn 25964   GrpOpHom cghomOLD 26133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-grpo 25967  df-gid 25968  df-ginv 25969  df-subgo 26078  df-ghomOLD 26134
This theorem is referenced by:  ghomf1o  30361
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