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Theorem ghomco 29948
Description: The composition of two group homomorphisms is a group homomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ghomco  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)

Proof of Theorem ghomco
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fco 5739 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ran  H --> ran  K  /\  S : ran  G --> ran  H )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
21ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
32ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K ) )
5 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( S `  x
)  e.  ran  H
)
6 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( S `  y
)  e.  ran  H
)
75, 6anim12da 29804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H ) )
8 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( S `  x ) ) )
98oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  v
) ) )
10 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
u H v )  =  ( ( S `
 x ) H v ) )
1110fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  ( u H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) )
129, 11eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  v
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) ) )
13 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  v )  =  ( T `  ( S `  y ) ) )
1413oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) ) )
15 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( S `  x
) H v )  =  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) ) )
1615fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) ) )
1812, 17rspc2va 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
197, 18sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  -> 
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2019an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2120adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2221adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
23 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( S `  ( x G y ) ) ) )
2422, 23sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) )  /\  ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
2524anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
26 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  x
)  =  ( T `
 ( S `  x ) ) )
2726ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  x )  =  ( T `  ( S `
 x ) ) )
28 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  y
)  =  ( T `
 ( S `  y ) ) )
2928ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
3027, 29oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3231ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ran  G  =  ran  G
3433grpocl 24878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G )  -> 
( x G y )  e.  ran  G
)
35343expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
x G y )  e.  ran  G )
36 fvco3 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3835, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
3938anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4039ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4125, 32, 403eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) )
4241expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4342anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) )  /\  x  e.  ran  G )  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T  o.  S
) `  ( x G y ) ) ) )
4443ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  x  e.  ran  G )  ->  ( A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) )  ->  A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) )
4544ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4645an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  G  e.  GrpOp )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4746ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4847com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4948anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
5049imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) )
5150an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
5251com12 31 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
53523ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
544, 53jcad 533 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x
) K ( ( T  o.  S ) `
 y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) ) ) ) )
55 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ran  H  =  ran  H
5633, 55elghom 25041 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp )  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) ) )
57563adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) ) ) )
58 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ran  K  =  ran  K
5955, 58elghom 25041 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) )
60593adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) ) )
6157, 60anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  <->  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) ) )
6233, 58elghom 25041 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
63623adant2 1015 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
6454, 61, 633imtr4d 268 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K ) ) )
6564imp 429 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   ran crn 5000    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   GrpOpcgr 24864   GrpOpHom cghom 25035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-grpo 24869  df-ghom 25036
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