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Theorem ghomco 32101
Description: The composition of two group homomorphisms is a group homomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ghomco  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)

Proof of Theorem ghomco
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fco 5754 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ran  H --> ran  K  /\  S : ran  G --> ran  H )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
21ancoms 455 . . . . . 6  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
32ad2ant2r 752 . . . . 5  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K ) )
5 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( S `  x
)  e.  ran  H
)
6 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( S `  y
)  e.  ran  H
)
75, 6anim12da 31958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( S `  x ) ) )
98oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  v
) ) )
10 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
u H v )  =  ( ( S `
 x ) H v ) )
1110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  ( u H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) )
129, 11eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  v
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) ) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  v )  =  ( T `  ( S `  y ) ) )
1413oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) ) )
15 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( S `  x
) H v )  =  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) ) )
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) ) )
1812, 17rspc2va 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
197, 18sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  -> 
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2019an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2120adantllr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2221adantllr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( S `  ( x G y ) ) ) )
2422, 23sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) )  /\  ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
2524anasss 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
26 fvco3 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  x
)  =  ( T `
 ( S `  x ) ) )
2726ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  x )  =  ( T `  ( S `
 x ) ) )
28 fvco3 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  y
)  =  ( T `
 ( S `  y ) ) )
2928ad2ant2rl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
3027, 29oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3130adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3231ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
33 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  G  =  ran  G
3433grpocl 25920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G )  -> 
( x G y )  e.  ran  G
)
35343expb 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
x G y )  e.  ran  G )
36 fvco3 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3736adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3835, 37sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
3938anassrs 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4039ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4125, 32, 403eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) )
4241expr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4342ralimdvva 2837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4443an32s 812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  G  e.  GrpOp )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4544ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4645com23 82 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4746anasss 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
4847imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) )
4948an32s 812 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
5049com12 33 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
51503ad2ant1 1027 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
524, 51jcad 536 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x
) K ( ( T  o.  S ) `
 y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) ) ) ) )
53 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ran  H  =  ran  H
5433, 53elghomOLD 26083 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp )  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) ) )
55543adant3 1026 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) ) ) )
56 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ran  K  =  ran  K
5753, 56elghomOLD 26083 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) )
58573adant1 1024 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) ) )
5955, 58anbi12d 716 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  <->  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) ) )
6033, 56elghomOLD 26083 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
61603adant2 1025 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
6252, 59, 613imtr4d 272 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K ) ) )
6362imp 431 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   ran crn 4852    o. ccom 4855   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   GrpOpcgr 25906   GrpOpHom cghomOLD 26077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-grpo 25911  df-ghomOLD 26078
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