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Theorem ghomco 31640
Description: The composition of two group homomorphisms is a group homomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ghomco  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)

Proof of Theorem ghomco
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fco 5726 . . . . . . 7  |-  ( ( T : ran  H --> ran  K  /\  S : ran  G --> ran  H )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
21ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  ->  ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
32ad2ant2r 747 . . . . 5  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K ) )
5 ffvelrn 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( S `  x
)  e.  ran  H
)
6 ffvelrn 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( S `  y
)  e.  ran  H
)
75, 6anim12da 31497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H ) )
8 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  u )  =  ( T `  ( S `  x ) ) )
98oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  v
) ) )
10 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
u H v )  =  ( ( S `
 x ) H v ) )
1110fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  ( T `  ( u H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) )
129, 11eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  ( S `  x )  ->  (
( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  v
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) ) ) )
13 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  v )  =  ( T `  ( S `  y ) ) )
1413oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 v ) )  =  ( ( T `
 ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) ) )
15 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( S `  x
) H v )  =  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) ) )
1615fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( S `  y )  ->  (
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H v ) )  <->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) ) )
1812, 17rspc2va 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S `  x )  e.  ran  H  /\  ( S `  y )  e.  ran  H )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
197, 18sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  -> 
( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2019an32s 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2120adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
2221adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) ) )
23 fveq2 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( T `  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) ) )  =  ( T `  ( S `  ( x G y ) ) ) )
2422, 23sylan9eq 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) )  /\  ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  /\  ( ( S `
 x ) H ( S `  y
) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
2524anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `  ( S `  y )
) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
26 fvco3 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  x  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  x
)  =  ( T `
 ( S `  x ) ) )
2726ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  x )  =  ( T `  ( S `
 x ) ) )
28 fvco3 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  y  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  y
)  =  ( T `
 ( S `  y ) ) )
2928ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  y )  =  ( T `  ( S `
 y ) ) )
3027, 29oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3130adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( ( T  o.  S ) `
 x ) K ( ( T  o.  S ) `  y
) )  =  ( ( T `  ( S `  x )
) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
3231ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T `  ( S `  x ) ) K ( T `
 ( S `  y ) ) ) )
33 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  G  =  ran  G
3433grpocl 25629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G )  -> 
( x G y )  e.  ran  G
)
35343expb 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
x G y )  e.  ran  G )
36 fvco3 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3736adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( x G y )  e. 
ran  G )  -> 
( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) )  =  ( T `
 ( S `  ( x G y ) ) ) )
3835, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  ( G  e.  GrpOp  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
3938anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4039ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) )  =  ( T `  ( S `
 ( x G y ) ) ) )
4125, 32, 403eqtr4d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( ( x  e. 
ran  G  /\  y  e.  ran  G )  /\  ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) )  ->  ( (
( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) )
4241expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K )  /\  G  e.  GrpOp )  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u
) K ( T `
 v ) )  =  ( T `  ( u H v ) ) )  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  (
( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4342ralimdvva 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  G  e.  GrpOp
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4443an32s 807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  /\  G  e.  GrpOp )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4645com23 80 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  T : ran  H --> ran  K
)  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
4746anasss 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) )  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) )  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) )
4948an32s 807 . . . . . 6  |-  ( ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( G  e.  GrpOp  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
5049com12 31 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
51503ad2ant1 1020 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) )
524, 51jcad 533 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( (
( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x
) H ( S `
 y ) )  =  ( S `  ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) )  -> 
( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x
) K ( ( T  o.  S ) `
 y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  ( x G y ) ) ) ) )
53 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ran  H  =  ran  H
5433, 53elghomOLD 25792 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp )  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) ) ) )
55543adant3 1019 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  <->  ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `  (
x G y ) ) ) ) )
56 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ran  K  =  ran  K
5753, 56elghomOLD 25792 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) )
58573adant1 1017 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( T  e.  ( H GrpOpHom  K )  <->  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `  (
u H v ) ) ) ) )
5955, 58anbi12d 711 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  <->  ( ( S : ran  G --> ran  H  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( S `  x ) H ( S `  y ) )  =  ( S `
 ( x G y ) ) )  /\  ( T : ran  H --> ran  K  /\  A. u  e.  ran  H A. v  e.  ran  H ( ( T `  u ) K ( T `  v ) )  =  ( T `
 ( u H v ) ) ) ) ) )
6033, 56elghomOLD 25792 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  ->  (
( T  o.  S
)  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S ) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S ) `  x ) K ( ( T  o.  S
) `  y )
)  =  ( ( T  o.  S ) `
 ( x G y ) ) ) ) )
61603adant2 1018 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )  <->  ( ( T  o.  S
) : ran  G --> ran  K  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( ( T  o.  S
) `  x ) K ( ( T  o.  S ) `  y ) )  =  ( ( T  o.  S ) `  (
x G y ) ) ) ) )
6252, 59, 613imtr4d 270 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp
)  ->  ( ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
)  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K ) ) )
6362imp 429 1  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  K  e.  GrpOp )  /\  ( S  e.  ( G GrpOpHom  H )  /\  T  e.  ( H GrpOpHom  K )
) )  ->  ( T  o.  S )  e.  ( G GrpOpHom  K )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   ran crn 4826    o. ccom 4829   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   GrpOpcgr 25615   GrpOpHom cghomOLD 25786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-grpo 25620  df-ghomOLD 25787
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