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Theorem ghmplusg 16319
Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
ghmplusg  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )

Proof of Theorem ghmplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2438 . 2  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
3 eqid 2438 . 2  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 ghmplusg.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  N )
5 ghmgrp1 15740 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  M  e.  Grp )
653ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  M  e.  Grp )
7 ghmgrp2 15741 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
873ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  N  e.  Grp )
92, 4grpcl 15542 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
1093expb 1188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  N )
)
118, 10sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N
)  /\  y  e.  ( Base `  N )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
121, 2ghmf 15742 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  F :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
13123ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
141, 2ghmf 15742 . . . 4  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  G :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
15143ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
16 fvex 5696 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( Base `  M
)  e.  _V )
18 inidm 3554 . . 3  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
1911, 13, 15, 17, 17, 18off 6329 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
) )
201, 3, 4ghmlin 15743 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+  ( F `  y ) ) )
21203expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) ) )
22213ad2antl2 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
) )
231, 3, 4ghmlin 15743 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )
24233expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( G `
 x )  .+  ( G `  y ) ) )
25243ad2antl3 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y )
) )
2622, 25oveq12d 6104 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) ) )
27 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e.  Abel )
28 ablcmn 16274 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Abel  ->  N  e. CMnd
)
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e. CMnd )
3013ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3130adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3213ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3332adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3415ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3534adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3615ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3736adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
382, 4cmn4 16287 . . . . 5  |-  ( ( N  e. CMnd  /\  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )  /\  (
( G `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) )  .+  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) 
.+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y )
) ) )
3929, 31, 33, 35, 37, 38syl122anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
4026, 39eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
)  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y
) ) ) )
41 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  F  Fn  ( Base `  M )
)
4213, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F  Fn  ( Base `  M ) )
4342adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  F  Fn  ( Base `  M
) )
44 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  G  Fn  ( Base `  M )
)
4515, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G  Fn  ( Base `  M ) )
4645adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  G  Fn  ( Base `  M
) )
4716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
481, 3grpcl 15542 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
49483expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  (
Base `  M )
)
506, 49sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
51 fnfvof 6328 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
5243, 46, 47, 50, 51syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
53 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
54 fnfvof 6328 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
5543, 46, 47, 53, 54syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
56 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( Base `  M
) )
57 fnfvof 6328 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  y )  =  ( ( F `
 y )  .+  ( G `  y ) ) )
5843, 46, 47, 56, 57syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  y )  =  ( ( F `  y
)  .+  ( G `  y ) ) )
5955, 58oveq12d 6104 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F  oF  .+  G ) `  x )  .+  (
( F  oF  .+  G ) `  y ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
6040, 52, 593eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( ( F  oF  .+  G ) `  x )  .+  (
( F  oF  .+  G ) `  y ) ) )
611, 2, 3, 4, 6, 8, 19, 60isghmd 15747 1  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402    GrpHom cghm 15735  CMndccmn 16268   Abelcabel 16269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-ghm 15736  df-cmn 16270  df-abl 16271
This theorem is referenced by:  lmhmplusg  17102  nmotri  20293  nghmplusg  20294
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