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Theorem ghmplusg 17176
Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  N )
Assertion
Ref Expression
ghmplusg  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )

Proof of Theorem ghmplusg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2402 . 2  |-  ( Base `  N )  =  (
Base `  N )
3 eqid 2402 . 2  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
4 ghmplusg.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  N )
5 ghmgrp1 16593 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  M  e.  Grp )
653ad2ant3 1020 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  M  e.  Grp )
7 ghmgrp2 16594 . . 3  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  N  e.  Grp )
873ad2ant3 1020 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  N  e.  Grp )
92, 4grpcl 16387 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
1093expb 1198 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  N )  /\  y  e.  ( Base `  N ) ) )  ->  ( x  .+  y )  e.  (
Base `  N )
)
118, 10sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  N
)  /\  y  e.  ( Base `  N )
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  ( Base `  N
) )
121, 2ghmf 16595 . . . 4  |-  ( F  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  F :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
13123ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
141, 2ghmf 16595 . . . 4  |-  ( G  e.  ( M  GrpHom  N )  ->  G :
( Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
15143ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G : (
Base `  M ) --> ( Base `  N )
)
16 fvex 5859 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( Base `  M
)  e.  _V )
18 inidm 3648 . . 3  |-  ( (
Base `  M )  i^i  ( Base `  M
) )  =  (
Base `  M )
1911, 13, 15, 17, 17, 18off 6536 . 2  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G ) : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
) )
201, 3, 4ghmlin 16596 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( F `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+  ( F `  y ) ) )
21203expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) ) )
22213ad2antl2 1160 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
) )
231, 3, 4ghmlin 16596 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )
24233expb 1198 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  (
x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( G `  (
x ( +g  `  M
) y ) )  =  ( ( G `
 x )  .+  ( G `  y ) ) )
25243ad2antl3 1161 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  ( x
( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y )
) )
2622, 25oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) ) )
27 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e.  Abel )
28 ablcmn 17128 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Abel  ->  N  e. CMnd
)
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  N  e. CMnd )
3013ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3130adantrr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3213ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3332adantrl 714 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3415ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3534adantrr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  N
) )
3615ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
3736adantrl 714 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) )
382, 4cmn4 17141 . . . . 5  |-  ( ( N  e. CMnd  /\  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  N
) )  /\  (
( G `  x
)  e.  ( Base `  N )  /\  ( G `  y )  e.  ( Base `  N
) ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  .+  ( F `  y ) )  .+  ( ( G `  x ) 
.+  ( G `  y ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) 
.+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y )
) ) )
3929, 31, 33, 35, 37, 38syl122anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F `  x )  .+  ( F `  y )
)  .+  ( ( G `  x )  .+  ( G `  y
) ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
4026, 39eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F `  (
x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
)  .+  ( ( F `  y )  .+  ( G `  y
) ) ) )
41 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  F  Fn  ( Base `  M )
)
4213, 41syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  F  Fn  ( Base `  M ) )
4342adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  F  Fn  ( Base `  M
) )
44 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  M
) --> ( Base `  N
)  ->  G  Fn  ( Base `  M )
)
4515, 44syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  G  Fn  ( Base `  M ) )
4645adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  G  Fn  ( Base `  M
) )
4716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  ( Base `  M )  e. 
_V )
481, 3grpcl 16387 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
49483expb 1198 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  M )  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  (
Base `  M )
)
506, 49sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  ( Base `  M
) )
51 fnfvof 6535 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
5243, 46, 47, 50, 51syl22anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( F `  ( x ( +g  `  M
) y ) ) 
.+  ( G `  ( x ( +g  `  M ) y ) ) ) )
53 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
54 fnfvof 6535 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  x )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
5543, 46, 47, 53, 54syl22anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) )
56 simprr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( Base `  M
) )
57 fnfvof 6535 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  ( Base `  M )  /\  G  Fn  ( Base `  M ) )  /\  ( ( Base `  M
)  e.  _V  /\  y  e.  ( Base `  M ) ) )  ->  ( ( F  oF  .+  G
) `  y )  =  ( ( F `
 y )  .+  ( G `  y ) ) )
5843, 46, 47, 56, 57syl22anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  y )  =  ( ( F `  y
)  .+  ( G `  y ) ) )
5955, 58oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( ( F  oF  .+  G ) `  x )  .+  (
( F  oF  .+  G ) `  y ) )  =  ( ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) )  .+  ( ( F `  y ) 
.+  ( G `  y ) ) ) )
6040, 52, 593eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M 
GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  /\  ( x  e.  ( Base `  M
)  /\  y  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( F  oF  .+  G ) `  ( x ( +g  `  M ) y ) )  =  ( ( ( F  oF  .+  G ) `  x )  .+  (
( F  oF  .+  G ) `  y ) ) )
611, 2, 3, 4, 6, 8, 19, 60isghmd 16600 1  |-  ( ( N  e.  Abel  /\  F  e.  ( M  GrpHom  N )  /\  G  e.  ( M  GrpHom  N ) )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  ( M  GrpHom  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   Grpcgrp 16377    GrpHom cghm 16588  CMndccmn 17122   Abelcabl 17123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-abl 17125
This theorem is referenced by:  lmhmplusg  18010  nmotri  21538  nghmplusg  21539
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