Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmplusg Structured version   Unicode version

Theorem ghmplusg 17477
 Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmplusg.p
Assertion
Ref Expression
ghmplusg

Proof of Theorem ghmplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . 2
2 eqid 2423 . 2
3 eqid 2423 . 2
4 ghmplusg.p . 2
5 ghmgrp1 16878 . . 3
7 ghmgrp2 16879 . . 3
92, 4grpcl 16672 . . . . 5
1093expb 1207 . . . 4
118, 10sylan 474 . . 3
121, 2ghmf 16880 . . . 4
141, 2ghmf 16880 . . . 4
16 fvex 5889 . . . 4
1716a1i 11 . . 3
18 inidm 3672 . . 3
1911, 13, 15, 17, 17, 18off 6558 . 2
201, 3, 4ghmlin 16881 . . . . . . 7
21203expb 1207 . . . . . 6
22213ad2antl2 1169 . . . . 5
231, 3, 4ghmlin 16881 . . . . . . 7
24233expb 1207 . . . . . 6
25243ad2antl3 1170 . . . . 5
2622, 25oveq12d 6321 . . . 4
27 simpl1 1009 . . . . . 6
28 ablcmn 17429 . . . . . 6 CMnd
2927, 28syl 17 . . . . 5 CMnd
3013ffvelrnda 6035 . . . . . 6
3130adantrr 722 . . . . 5
3213ffvelrnda 6035 . . . . . 6
3332adantrl 721 . . . . 5
3415ffvelrnda 6035 . . . . . 6
3534adantrr 722 . . . . 5
3615ffvelrnda 6035 . . . . . 6
3736adantrl 721 . . . . 5
382, 4cmn4 17442 . . . . 5 CMnd
3929, 31, 33, 35, 37, 38syl122anc 1274 . . . 4
4026, 39eqtrd 2464 . . 3
41 ffn 5744 . . . . . 6
4213, 41syl 17 . . . . 5
4342adantr 467 . . . 4
44 ffn 5744 . . . . . 6
4515, 44syl 17 . . . . 5
4645adantr 467 . . . 4
4716a1i 11 . . . 4
481, 3grpcl 16672 . . . . . 6
49483expb 1207 . . . . 5
506, 49sylan 474 . . . 4
51 fnfvof 6557 . . . 4
5243, 46, 47, 50, 51syl22anc 1266 . . 3
53 simprl 763 . . . . 5
54 fnfvof 6557 . . . . 5
5543, 46, 47, 53, 54syl22anc 1266 . . . 4
56 simprr 765 . . . . 5
57 fnfvof 6557 . . . . 5
5843, 46, 47, 56, 57syl22anc 1266 . . . 4
5955, 58oveq12d 6321 . . 3
6040, 52, 593eqtr4d 2474 . 2
611, 2, 3, 4, 6, 8, 19, 60isghmd 16885 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869  cvv 3082   wfn 5594  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303   cof 6541  cbs 15114   cplusg 15183  cgrp 16662   cghm 16873  CMndccmn 17423  cabl 17424 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426 This theorem is referenced by:  lmhmplusg  18260  nmotri  21752  nghmplusg  21753
 Copyright terms: Public domain W3C validator