Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmnsgima Structured version   Unicode version

Theorem ghmnsgima 16616
 Description: The image of a normal subgroup under a surjective homomorphism is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ghmnsgima.1
Assertion
Ref Expression
ghmnsgima NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem ghmnsgima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . 3 NrmSGrp
2 nsgsubg 16559 . . . 4 NrmSGrp SubGrp
323ad2ant2 1021 . . 3 NrmSGrp SubGrp
4 ghmima 16613 . . 3 SubGrp SubGrp
51, 3, 4syl2anc 661 . 2 NrmSGrp SubGrp
61adantr 465 . . . . . . 7 NrmSGrp
7 ghmgrp1 16595 . . . . . . . . 9
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 NrmSGrp
9 simprl 758 . . . . . . . 8 NrmSGrp
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
1110subgss 16528 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
123, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
1312adantr 465 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
14 simprr 760 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
1513, 14sseldd 3445 . . . . . . . 8 NrmSGrp
16 eqid 2404 . . . . . . . . 9
1710, 16grpcl 16389 . . . . . . . 8
188, 9, 15, 17syl3anc 1232 . . . . . . 7 NrmSGrp
19 eqid 2404 . . . . . . . 8
20 eqid 2404 . . . . . . . 8
2110, 19, 20ghmsub 16601 . . . . . . 7
226, 18, 9, 21syl3anc 1232 . . . . . 6 NrmSGrp
23 eqid 2404 . . . . . . . . 9
2410, 16, 23ghmlin 16598 . . . . . . . 8
256, 9, 15, 24syl3anc 1232 . . . . . . 7 NrmSGrp
2625oveq1d 6295 . . . . . 6 NrmSGrp
2722, 26eqtrd 2445 . . . . 5 NrmSGrp
28 ghmnsgima.1 . . . . . . . . . 10
2910, 28ghmf 16597 . . . . . . . . 9
301, 29syl 17 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3130adantr 465 . . . . . . 7 NrmSGrp
32 ffn 5716 . . . . . . 7
3331, 32syl 17 . . . . . 6 NrmSGrp
34 simpl2 1003 . . . . . . 7 NrmSGrp NrmSGrp
3510, 16, 19nsgconj 16560 . . . . . . 7 NrmSGrp
3634, 9, 14, 35syl3anc 1232 . . . . . 6 NrmSGrp
37 fnfvima 6133 . . . . . 6
3833, 13, 36, 37syl3anc 1232 . . . . 5 NrmSGrp
3927, 38eqeltrrd 2493 . . . 4 NrmSGrp
4039ralrimivva 2827 . . 3 NrmSGrp
4130, 32syl 17 . . . . 5 NrmSGrp
42 oveq1 6287 . . . . . . . . 9
43 id 23 . . . . . . . . 9
4442, 43oveq12d 6298 . . . . . . . 8
4544eleq1d 2473 . . . . . . 7
4645ralbidv 2845 . . . . . 6
4746ralrn 6014 . . . . 5
4841, 47syl 17 . . . 4 NrmSGrp
49 simp3 1001 . . . . 5 NrmSGrp
5049raleqdv 3012 . . . 4 NrmSGrp
51 oveq2 6288 . . . . . . . . 9
5251oveq1d 6295 . . . . . . . 8
5352eleq1d 2473 . . . . . . 7
5453ralima 6135 . . . . . 6
5541, 12, 54syl2anc 661 . . . . 5 NrmSGrp
5655ralbidv 2845 . . . 4 NrmSGrp
5748, 50, 563bitr3d 285 . . 3 NrmSGrp
5840, 57mpbird 234 . 2 NrmSGrp
5928, 23, 20isnsg3 16561 . 2 NrmSGrp SubGrp
605, 58, 59sylanbrc 664 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756   wss 3416   crn 4826  cima 4828   wfn 5566  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  cbs 14843   cplusg 14911  cgrp 16379  csg 16381  SubGrpcsubg 16521  NrmSGrpcnsg 16522   cghm 16590 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-ghm 16591 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator