Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Unicode version

Theorem ghmmulg 16150
 Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b
ghmmulg.s .g
ghmmulg.t .g
Assertion
Ref Expression
ghmmulg

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 16148 . . . . . 6 MndHom
2 ghmmulg.b . . . . . . 7
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 .g
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 .g
52, 3, 4mhmmulg 16045 . . . . . 6 MndHom
61, 5syl3an1 1260 . . . . 5
763expa 1195 . . . 4
87an32s 802 . . 3
10 simpl1 998 . . . . . . . 8
1110, 1syl 16 . . . . . . 7 MndHom
12 nnnn0 10805 . . . . . . . 8
1312ad2antll 728 . . . . . . 7
14 simpl3 1000 . . . . . . 7
152, 3, 4mhmmulg 16045 . . . . . . 7 MndHom
1611, 13, 14, 15syl3anc 1227 . . . . . 6
1716fveq2d 5857 . . . . 5
18 ghmgrp1 16140 . . . . . . . 8
1910, 18syl 16 . . . . . . 7
20 nnz 10889 . . . . . . . 8
2120ad2antll 728 . . . . . . 7
222, 3mulgcl 16030 . . . . . . 7
2319, 21, 14, 22syl3anc 1227 . . . . . 6
24 eqid 2441 . . . . . . 7
25 eqid 2441 . . . . . . 7
262, 24, 25ghminv 16145 . . . . . 6
2710, 23, 26syl2anc 661 . . . . 5
28 ghmgrp2 16141 . . . . . . 7
2910, 28syl 16 . . . . . 6
30 eqid 2441 . . . . . . . . 9
312, 30ghmf 16142 . . . . . . . 8
3210, 31syl 16 . . . . . . 7
3332, 14ffvelrnd 6014 . . . . . 6
3430, 4, 25mulgneg 16031 . . . . . 6
3529, 21, 33, 34syl3anc 1227 . . . . 5
3617, 27, 353eqtr4d 2492 . . . 4
372, 3, 24mulgneg 16031 . . . . . . 7
3819, 21, 14, 37syl3anc 1227 . . . . . 6
39 simprl 755 . . . . . . . . 9
4039recnd 9622 . . . . . . . 8
4140negnegd 9924 . . . . . . 7
4241oveq1d 6293 . . . . . 6
4338, 42eqtr3d 2484 . . . . 5
4443fveq2d 5857 . . . 4
4536, 44eqtr3d 2484 . . 3
4641oveq1d 6293 . . 3
4745, 46eqtr3d 2484 . 2
48 simp2 996 . . 3
49 elznn0nn 10881 . . 3
5048, 49sylib 196 . 2
519, 47, 50mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  wf 5571  cfv 5575  (class class class)co 6278  cr 9491  cneg 9808  cn 10539  cn0 10798  cz 10867  cbs 14506   MndHom cmhm 15835  cgrp 15924  cminusg 15925  .gcmg 15927   cghm 16135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-seq 12084  df-0g 14713  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-mhm 15837  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-mulg 15931  df-ghm 16136 This theorem is referenced by:  ghmcyg  16769  mulgrhm2  18403  mulgrhm2OLD  18406  dchrabs  23404
 Copyright terms: Public domain W3C validator