Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmhmb Structured version   Unicode version

Theorem ghmmhmb 16602
 Description: Group homomorphisms and monoid homomorphisms coincide. (Thus, is somewhat redundant, although its stronger reverse closure properties are sometimes useful.) (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ghmmhmb MndHom

Proof of Theorem ghmmhmb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 16601 . . 3 MndHom
2 eqid 2402 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . 5
4 eqid 2402 . . . . 5
5 eqid 2402 . . . . 5
6 simpll 752 . . . . 5 MndHom
7 simplr 754 . . . . 5 MndHom
82, 3mhmf 16295 . . . . . 6 MndHom
98adantl 464 . . . . 5 MndHom
102, 4, 5mhmlin 16297 . . . . . . 7 MndHom
11103expb 1198 . . . . . 6 MndHom
1211adantll 712 . . . . 5 MndHom
132, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12isghmd 16600 . . . 4 MndHom
1413ex 432 . . 3 MndHom
151, 14impbid2 204 . 2 MndHom
1615eqrdv 2399 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909   MndHom cmhm 16288  cgrp 16377   cghm 16588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-ghm 16589 This theorem is referenced by:  0ghm  16605  resghm2  16608  resghm2b  16609  ghmco  16610  pwsdiagghm  16618  ghmpropd  16628  pwsco1rhm  17707  pwsco2rhm  17708  dchrghm  23912  c0ghm  38228  c0snghm  38233
 Copyright terms: Public domain W3C validator