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Theorem ghmf1o 16084
Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf1o.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf1o  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) ) )

Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 16058 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  T  e.  Grp )
2 ghmgrp1 16057 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
31, 2jca 532 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( T  e.  Grp  /\  S  e. 
Grp ) )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( T  e.  Grp  /\  S  e.  Grp ) )
5 f1ocnv 5819 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
7 f1of 5807 . . . . 5  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F : Y --> X )
9 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
108adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  `' F : Y --> X )
11 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  x  e.  Y )
1210, 11ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
13 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  y  e.  Y )
1410, 13ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  S
)
16 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
17 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
1815, 16, 17ghmlin 16060 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( `' F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  (
( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
20 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
21 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
2220, 11, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
23 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2420, 13, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2522, 24oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
2619, 25eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
279, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  S  e.  Grp )
2815, 16grpcl 15857 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( `' F `  y )  e.  X )  -> 
( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) )  e.  X )
2927, 12, 14, 28syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) )  e.  X )
30 f1ocnvfv 6163 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) )  e.  X )  ->  ( ( F `
 ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
3120, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
3226, 31mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  ( x
( +g  `  T ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )
3332ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x
( +g  `  T ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )
348, 33jca 532 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
35 ghmf1o.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3635, 15, 17, 16isghm 16055 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( T 
GrpHom  S )  <->  ( ( T  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) ) )
374, 34, 36sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )
3815, 35ghmf 16059 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
3938adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F : X --> Y )
40 ffn 5722 . . . 4  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F  Fn  X )
4235, 15ghmf 16059 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( T 
GrpHom  S )  ->  `' F : Y --> X )
4342adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  `' F : Y --> X )
44 ffn 5722 . . . 4  |-  ( `' F : Y --> X  ->  `' F  Fn  Y
)
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  `' F  Fn  Y
)
46 dff1o4 5815 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  ( F  Fn  X  /\  `' F  Fn  Y ) )
4741, 45, 46sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
4837, 47impbida 829 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   `'ccnv 4991    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   Grpcgrp 15716    GrpHom cghm 16052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-ghm 16053
This theorem is referenced by:  isgim2  16101  rhmf1o  17157  lmhmf1o  17468
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