Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1o Structured version   Unicode version

Theorem ghmf1o 16084
 Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x
ghmf1o.y
Assertion
Ref Expression
ghmf1o

Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 16058 . . . . 5
2 ghmgrp1 16057 . . . . 5
31, 2jca 532 . . . 4
5 f1ocnv 5819 . . . . . 6
65adantl 466 . . . . 5
7 f1of 5807 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 simpll 753 . . . . . . . 8
108adantr 465 . . . . . . . . 9
11 simprl 755 . . . . . . . . 9
1210, 11ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8
13 simprr 756 . . . . . . . . 9
1410, 13ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9
16 eqid 2460 . . . . . . . . 9
17 eqid 2460 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17ghmlin 16060 . . . . . . . 8
199, 12, 14, 18syl3anc 1223 . . . . . . 7
20 simplr 754 . . . . . . . . 9
21 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9
2220, 11, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8
23 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9
2420, 13, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8
2522, 24oveq12d 6293 . . . . . . 7
2619, 25eqtrd 2501 . . . . . 6
279, 2syl 16 . . . . . . . 8
2815, 16grpcl 15857 . . . . . . . 8
2927, 12, 14, 28syl3anc 1223 . . . . . . 7
30 f1ocnvfv 6163 . . . . . . 7
3120, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6
3226, 31mpd 15 . . . . 5
3332ralrimivva 2878 . . . 4
348, 33jca 532 . . 3
35 ghmf1o.y . . . 4
3635, 15, 17, 16isghm 16055 . . 3
374, 34, 36sylanbrc 664 . 2
3815, 35ghmf 16059 . . . . 5
3938adantr 465 . . . 4
40 ffn 5722 . . . 4
4139, 40syl 16 . . 3
4235, 15ghmf 16059 . . . . 5
4342adantl 466 . . . 4
44 ffn 5722 . . . 4
4543, 44syl 16 . . 3
46 dff1o4 5815 . . 3
4741, 45, 46sylanbrc 664 . 2
4837, 47impbida 829 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  ccnv 4991   wfn 5574  wf 5575  wf1o 5578  cfv 5579  (class class class)co 6275  cbs 14479   cplusg 14544  cgrp 15716   cghm 16052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-ghm 16053 This theorem is referenced by:  isgim2  16101  rhmf1o  17157  lmhmf1o  17468
 Copyright terms: Public domain W3C validator