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Theorem ghmf1o 14990
Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf1o.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf1o  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) ) )

Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 14964 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  T  e.  Grp )
2 ghmgrp1 14963 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
31, 2jca 519 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( T  e.  Grp  /\  S  e. 
Grp ) )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( T  e.  Grp  /\  S  e.  Grp ) )
5 f1ocnv 5646 . . . . . 6  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
7 f1of 5633 . . . . 5  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F : Y --> X )
9 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
108adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  `' F : Y --> X )
11 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  x  e.  Y )
1210, 11ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
13 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  y  e.  Y )
1410, 13ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  S
)
16 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
17 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
1815, 16, 17ghmlin 14966 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( `' F `  y )  e.  X )  -> 
( F `  (
( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  x ) ) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) ) )
20 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
21 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
2220, 11, 21syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
23 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2420, 13, 23syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2522, 24oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  ( `' F `  x )
) ( +g  `  T
) ( F `  ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
2619, 25eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
279, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  S  e.  Grp )
2815, 16grpcl 14773 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( `' F `  x )  e.  X  /\  ( `' F `  y )  e.  X )  -> 
( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) )  e.  X )
2927, 12, 14, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) )  e.  X )
30 f1ocnvfv 5975 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) )  e.  X )  ->  ( ( F `
 ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
3120, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) )  =  ( x ( +g  `  T ) y )  ->  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
3226, 31mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )
)  ->  ( `' F `  ( x
( +g  `  T ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )
3332ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x
( +g  `  T ) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S ) ( `' F `  y ) ) )
348, 33jca 519 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) )
35 ghmf1o.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3635, 15, 17, 16isghm 14961 . . 3  |-  ( `' F  e.  ( T 
GrpHom  S )  <->  ( ( T  e.  Grp  /\  S  e.  Grp )  /\  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( `' F `  ( x ( +g  `  T
) y ) )  =  ( ( `' F `  x ) ( +g  `  S
) ( `' F `  y ) ) ) ) )
374, 34, 36sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )
3815, 35ghmf 14965 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
3938adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F : X --> Y )
40 ffn 5550 . . . 4  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F  Fn  X )
4235, 15ghmf 14965 . . . . 5  |-  ( `' F  e.  ( T 
GrpHom  S )  ->  `' F : Y --> X )
4342adantl 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  `' F : Y --> X )
44 ffn 5550 . . . 4  |-  ( `' F : Y --> X  ->  `' F  Fn  Y
)
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  `' F  Fn  Y
)
46 dff1o4 5641 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  ( F  Fn  X  /\  `' F  Fn  Y ) )
4741, 45, 46sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
4837, 47impbida 806 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  <->  `' F  e.  ( T  GrpHom  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   `'ccnv 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   Grpcgrp 14640    GrpHom cghm 14958
This theorem is referenced by:  isgim2  15007  lmhmf1o  16077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-ghm 14959
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