Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf1 Structured version   Unicode version

Theorem ghmf1 16619
 Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x
ghmf1.y
ghmf1.z
ghmf1.u
Assertion
Ref Expression
ghmf1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8
2 ghmf1.u . . . . . . . 8
31, 2ghmid 16597 . . . . . . 7
43ad2antrr 724 . . . . . 6
54eqeq2d 2416 . . . . 5
6 simplr 754 . . . . . 6
7 simpr 459 . . . . . 6
8 ghmgrp1 16593 . . . . . . . 8
98ad2antrr 724 . . . . . . 7
10 ghmf1.x . . . . . . . 8
1110, 1grpidcl 16402 . . . . . . 7
129, 11syl 17 . . . . . 6
13 f1fveq 6151 . . . . . 6
146, 7, 12, 13syl12anc 1228 . . . . 5
155, 14bitr3d 255 . . . 4
1615biimpd 207 . . 3
1716ralrimiva 2818 . 2
18 ghmf1.y . . . . 5
1910, 18ghmf 16595 . . . 4
21 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
2310, 21, 22ghmsub 16599 . . . . . . . . 9
24233expb 1198 . . . . . . . 8
2524adantlr 713 . . . . . . 7
2625eqeq1d 2404 . . . . . 6
278adantr 463 . . . . . . . 8
2810, 21grpsubcl 16442 . . . . . . . . 9
29283expb 1198 . . . . . . . 8
3027, 29sylan 469 . . . . . . 7
31 simplr 754 . . . . . . 7
32 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10
3332eqeq1d 2404 . . . . . . . . 9
34 eqeq1 2406 . . . . . . . . 9
3533, 34imbi12d 318 . . . . . . . 8
3635rspcv 3156 . . . . . . 7
3730, 31, 36sylc 59 . . . . . 6
3826, 37sylbird 235 . . . . 5
39 ghmgrp2 16594 . . . . . . 7
4039ad2antrr 724 . . . . . 6
4119ad2antrr 724 . . . . . . 7
42 simprl 756 . . . . . . 7
4341, 42ffvelrnd 6010 . . . . . 6
44 simprr 758 . . . . . . 7
4541, 44ffvelrnd 6010 . . . . . 6
4618, 2, 22grpsubeq0 16448 . . . . . 6
4740, 43, 45, 46syl3anc 1230 . . . . 5
488ad2antrr 724 . . . . . 6
4910, 1, 21grpsubeq0 16448 . . . . . 6
5048, 42, 44, 49syl3anc 1230 . . . . 5
5138, 47, 503imtr3d 267 . . . 4
5251ralrimivva 2825 . . 3
53 dff13 6147 . . 3
5420, 52, 53sylanbrc 662 . 2
5517, 54impbida 833 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  wf 5565  wf1 5566  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841  c0g 15054  cgrp 16377  csg 16379   cghm 16588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-ghm 16589 This theorem is referenced by:  cayleylem2  16762  f1rhm0to0ALT  17710  fidomndrnglem  18275  islindf5  19166  pwssplit4  35397
 Copyright terms: Public domain W3C validator