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Theorem ghmf1 15775
Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf1.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
ghmf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ghmf1.u  |-  U  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T    x, U    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem ghmf1
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
2 ghmf1.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( 0g `  T
)
31, 2ghmid 15753 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
43ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F `  .0.  )  =  U )
54eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  ( F `  x )  =  U ) )
6 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X -1-1-> Y )
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 ghmgrp1 15749 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  S  e.  Grp )
98ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  Grp )
10 ghmf1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  S
)
1110, 1grpidcl 15566 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  e.  X )
13 f1fveq 5975 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  .0.  e.  X ) )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
146, 7, 12, 13syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  .0.  )  <->  x  =  .0.  ) )
155, 14bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  <->  x  =  .0.  ) )
1615biimpd 207 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
1716ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  F : X -1-1-> Y )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
18 ghmf1.y . . . . 5  |-  Y  =  ( Base `  T
)
1910, 18ghmf 15751 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
2019adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X
--> Y )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  S )  =  (
-g `  S )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
2310, 21, 22ghmsub 15755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  ( y
( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) ) )
24233expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  ( ( F `  y ) ( -g `  T
) ( F `  z ) ) )
2524adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y ( -g `  S
) z ) )  =  ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) ) )
2625eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  <->  ( ( F `  y )
( -g `  T ) ( F `  z
) )  =  U ) )
278adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  S  e.  Grp )
2810, 21grpsubcl 15606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
29283expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y ( -g `  S
) z )  e.  X )
3027, 29sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y ( -g `  S ) z )  e.  X )
31 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) )
32 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) ) )
3332eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( F `  x
)  =  U  <->  ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U ) )
34 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3533, 34imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (
-g `  S )
z )  ->  (
( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( F `
 ( y (
-g `  S )
z ) )  =  U  ->  ( y
( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3635rspcv 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( -g `  S
) z )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )  ->  ( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) ) )
3730, 31, 36sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y ( -g `  S ) z ) )  =  U  -> 
( y ( -g `  S ) z )  =  .0.  ) )
3826, 37sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  ->  ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  ) )
39 ghmgrp2 15750 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  T  e.  Grp )
4039ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  T  e.  Grp )
4119ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
42 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4341, 42ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  e.  Y )
44 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
4541, 44ffvelrnd 5844 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  Y )
4618, 2, 22grpsubeq0 15612 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  z )  e.  Y )  ->  (
( ( F `  y ) ( -g `  T ) ( F `
 z ) )  =  U  <->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) ) )
4740, 43, 45, 46syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 y ) (
-g `  T )
( F `  z
) )  =  U  <-> 
( F `  y
)  =  ( F `
 z ) ) )
488ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  S  e.  Grp )
4910, 1, 21grpsubeq0 15612 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5048, 42, 44, 49syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y (
-g `  S )
z )  =  .0.  <->  y  =  z ) )
5138, 47, 503imtr3d 267 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  ( ( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
5251ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
53 dff13 5971 . . 3  |-  ( F : X -1-1-> Y  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
5420, 52, 53sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  A. x  e.  X  (
( F `  x
)  =  U  ->  x  =  .0.  )
)  ->  F : X -1-1-> Y )
5517, 54impbida 828 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X -1-1-> Y  <->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  U  ->  x  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   -gcsg 15413    GrpHom cghm 15744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-ghm 15745
This theorem is referenced by:  cayleylem2  15918  f1rhm0to0ALT  16829  fidomndrnglem  17378  islindf5  18268  pwssplit4  29442
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