MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf Structured version   Unicode version

Theorem ghmf 15766
Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem ghmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  S
)
2 ghmf.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
51, 2, 3, 4isghm 15762 . . 3  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) ) )
65simprbi 464 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) )
76simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   +g cplusg 14253   Grpcgrp 15425    GrpHom cghm 15759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-ghm 15760
This theorem is referenced by:  ghmid  15768  ghminv  15769  ghmsub  15770  ghmmhm  15772  ghmmulg  15774  ghmrn  15775  resghm  15778  ghmpreima  15783  ghmeql  15784  ghmnsgima  15785  ghmnsgpreima  15786  ghmeqker  15788  ghmf1  15790  ghmf1o  15791  gimcnv  15810  lactghmga  15924  frgpup3lem  16289  frgpup3  16290  ghmplusg  16343  rhmf  16831  isrhm2d  16833  lmhmf  17130  lmhmpropd  17169  evlslem2  17612  frgpcyg  18021  psgninv  18027  zrhpsgninv  18030  evpmss  18031  psgnevpmb  18032  psgnodpm  18033  zrhpsgnevpm  18036  zrhpsgnodpm  18037  nmoi  20322  nmoix  20323  nmoi2  20324  nmoleub  20325  nmoeq0  20330  nmoco  20331  nmotri  20333  nmods  20338  nghmcn  20339
  Copyright terms: Public domain W3C validator