MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf Structured version   Unicode version

Theorem ghmf 15744
Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem ghmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  S
)
2 ghmf.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
51, 2, 3, 4isghm 15740 . . 3  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) ) )
65simprbi 461 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) )
76simpld 456 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   Grpcgrp 15406    GrpHom cghm 15737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-ghm 15738
This theorem is referenced by:  ghmid  15746  ghminv  15747  ghmsub  15748  ghmmhm  15750  ghmmulg  15752  ghmrn  15753  resghm  15756  ghmpreima  15761  ghmeql  15762  ghmnsgima  15763  ghmnsgpreima  15764  ghmeqker  15766  ghmf1  15768  ghmf1o  15769  gimcnv  15788  lactghmga  15902  frgpup3lem  16267  frgpup3  16268  ghmplusg  16321  rhmf  16804  isrhm2d  16806  lmhmf  17093  lmhmpropd  17132  evlslem2  17573  frgpcyg  17965  psgninv  17971  zrhpsgninv  17974  evpmss  17975  psgnevpmb  17976  psgnodpm  17977  zrhpsgnevpm  17980  zrhpsgnodpm  17981  nmoi  20266  nmoix  20267  nmoi2  20268  nmoleub  20269  nmoeq0  20274  nmoco  20275  nmotri  20277  nmods  20282  nghmcn  20283
  Copyright terms: Public domain W3C validator