MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf Structured version   Unicode version

Theorem ghmf 16066
Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf.x  |-  X  =  ( Base `  S
)
ghmf.y  |-  Y  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
ghmf  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )

Proof of Theorem ghmf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  S
)
2 ghmf.y . . . 4  |-  Y  =  ( Base `  T
)
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  T )  =  ( +g  `  T )
51, 2, 3, 4isghm 16062 . . 3  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) ) )
65simprbi 464 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( F `  ( y
( +g  `  S ) x ) )  =  ( ( F `  y ) ( +g  `  T ) ( F `
 x ) ) ) )
76simpld 459 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : X
--> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   Grpcgrp 15723    GrpHom cghm 16059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-ghm 16060
This theorem is referenced by:  ghmid  16068  ghminv  16069  ghmsub  16070  ghmmhm  16072  ghmmulg  16074  ghmrn  16075  resghm  16078  ghmpreima  16083  ghmeql  16084  ghmnsgima  16085  ghmnsgpreima  16086  ghmeqker  16088  ghmf1  16090  ghmf1o  16091  gimcnv  16110  lactghmga  16224  frgpup3lem  16591  frgpup3  16592  ghmplusg  16645  rhmf  17159  isrhm2d  17161  lmhmf  17463  lmhmpropd  17502  evlslem2  17951  frgpcyg  18379  psgninv  18385  zrhpsgninv  18388  evpmss  18389  psgnevpmb  18390  psgnodpm  18391  zrhpsgnevpm  18394  zrhpsgnodpm  18395  nmoi  20970  nmoix  20971  nmoi2  20972  nmoleub  20973  nmoeq0  20978  nmoco  20979  nmotri  20981  nmods  20986  nghmcn  20987
  Copyright terms: Public domain W3C validator