Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmeql Structured version   Unicode version

Theorem ghmeql 16077
 Description: The equalizer of two group homomorphisms is a subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ghmeql SubGrp

Proof of Theorem ghmeql
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 16065 . . 3 MndHom
2 ghmmhm 16065 . . 3 MndHom
3 mhmeql 15798 . . 3 MndHom MndHom SubMnd
41, 2, 3syl2an 477 . 2 SubMnd
5 ghmgrp1 16057 . . . . . . . . . 10
65adantr 465 . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
8 simprl 755 . . . . . . . 8
9 eqid 2460 . . . . . . . . 9
10 eqid 2460 . . . . . . . . 9
119, 10grpinvcl 15889 . . . . . . . 8
127, 8, 11syl2anc 661 . . . . . . 7
13 simprr 756 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5861 . . . . . . . 8
15 eqid 2460 . . . . . . . . . 10
169, 10, 15ghminv 16062 . . . . . . . . 9
1716ad2ant2r 746 . . . . . . . 8
189, 10, 15ghminv 16062 . . . . . . . . 9
1918ad2ant2lr 747 . . . . . . . 8
2014, 17, 193eqtr4d 2511 . . . . . . 7
21 fveq2 5857 . . . . . . . . 9
22 fveq2 5857 . . . . . . . . 9
2321, 22eqeq12d 2482 . . . . . . . 8
2423elrab 3254 . . . . . . 7
2512, 20, 24sylanbrc 664 . . . . . 6
2625expr 615 . . . . 5
2726ralrimiva 2871 . . . 4
28 fveq2 5857 . . . . . 6
29 fveq2 5857 . . . . . 6
3028, 29eqeq12d 2482 . . . . 5
3130ralrab 3258 . . . 4
3227, 31sylibr 212 . . 3
33 eqid 2460 . . . . . . . 8
349, 33ghmf 16059 . . . . . . 7
3534adantr 465 . . . . . 6
36 ffn 5722 . . . . . 6
3735, 36syl 16 . . . . 5
389, 33ghmf 16059 . . . . . . 7
3938adantl 466 . . . . . 6
40 ffn 5722 . . . . . 6
4139, 40syl 16 . . . . 5
42 fndmin 5979 . . . . 5
4337, 41, 42syl2anc 661 . . . 4
44 eleq2 2533 . . . . 5
4544raleqbi1dv 3059 . . . 4
4643, 45syl 16 . . 3
4732, 46mpbird 232 . 2
4810issubg3 16007 . . 3 SubGrp SubMnd
496, 48syl 16 . 2 SubGrp SubMnd
504, 47, 49mpbir2and 915 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  crab 2811   cin 3468   cdm 4992   wfn 5574  wf 5575  cfv 5579  (class class class)co 6275  cbs 14479  cgrp 15716  cminusg 15717   MndHom cmhm 15768  SubMndcsubmnd 15769  SubGrpcsubg 15983   cghm 16052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-ghm 16053 This theorem is referenced by:  rhmeql  17235  lmhmeql  17477
 Copyright terms: Public domain W3C validator