Theorem ghmco 16610

Description: The composition of group homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmco	|- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )

Proof of Theorem ghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 16601	. . 3 |- ( F e. ( T GrpHom U ) -> F e. ( T MndHom U ) )
2		ghmmhm 16601	. . 3 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> G e. ( S MndHom T ) )
3		mhmco 16317	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )
4	1, 2, 3	syl2an 475	. 2 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )
5		ghmgrp1 16593	. . 3 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
6		ghmgrp2 16594	. . 3 |- ( F e. ( T GrpHom U ) -> U e. Grp )
7		ghmmhmb 16602	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ U e. Grp ) -> ( S GrpHom U ) = ( S MndHom U ) )
8	5, 6, 7	syl2anr 476	. 2 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( S GrpHom U ) = ( S MndHom U ) )
9	4, 8	eleqtrrd 2493	1 |- ( ( F e. ( T GrpHom U ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S GrpHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   o. ccom 4827  (class class class)co 6278   MndHom cmhm 16288   Grpcgrp 16377   GrpHom cghm 16588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-ghm 16589

This theorem is referenced by:  gimco  16640  rhmco  17706  lmhmco  18009  lmhmvsca  18011  frgpcyg  18910  nmoco  21536  nghmco  21537  rnghmco  38224