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Theorem ghmcnp 21060
Description: A group homomorphism on topological groups is continuous everywhere if it is continuous at any point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmcnp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
ghmcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
ghmcnp.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
Assertion
Ref Expression
ghmcnp  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem ghmcnp
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
21cnprcl 20192 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A  e.  U. J )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  A  e.  U. J ) )
4 ghmcnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 ghmcnp.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
64, 5tmdtopon 21027 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
763ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
87adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 simpl2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  H  e. TopMnd )
10 ghmcnp.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
11 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1210, 11tmdtopon 21027 . . . . . . . 8  |-  ( H  e. TopMnd  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
139, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H
) ) )
14 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
15 cnpf2 20197 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  F : X --> ( Base `  H ) )
168, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
1814adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
19 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) )  =  ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
2019mptpreima 5348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
" y )  =  { w  e.  (
Base `  H )  |  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y }
219adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  H  e. TopMnd )
2216adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
23 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
24 ghmgrp1 16836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  G  e.  Grp )
26 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  X )
272adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A  e.  U. J )
28 toponuni 19873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  X  =  U. J )
3027, 29eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A  e.  X )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  X )
32 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
335, 32grpsubcl 16685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( x ( -g `  G ) A )  e.  X )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  X
)
3522, 34ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) )  e.  ( Base `  H ) )
36 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
3719, 11, 36, 10tmdlactcn 21048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  e. TopMnd  /\  ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
w  e.  ( Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3821, 35, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) )  e.  ( K  Cn  K
) )
39 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  y  e.  K )
40 cnima 20212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  (
Base `  H )  |->  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )  e.  ( K  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  ( Base `  H
)  |->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w ) ) "
y )  e.  K
)
4138, 39, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  ( Base `  H )  |->  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w ) )
" y )  e.  K )
4220, 41syl5eqelr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  e.  K
)
4322, 31ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  (
Base `  H )
)
44 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -g `  H )  =  (
-g `  H )
455, 32, 44ghmsub 16842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) )  =  ( ( F `  x ) ( -g `  H ) ( F `
 A ) ) )
4623, 26, 31, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) )  =  ( ( F `  x ) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) )
4746oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( ( ( F `  x ) ( -g `  H ) ( F `
 A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  A ) ) )
48 ghmgrp2 16837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  H  e.  Grp )
5022, 26ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  H )
)
5111, 36, 44grpnpcan 16697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
)  /\  ( F `  A )  e.  (
Base `  H )
)  ->  ( (
( F `  x
) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
5249, 50, 43, 51syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( (
( F `  x
) ( -g `  H
) ( F `  A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
5347, 52eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  =  ( F `  x ) )
54 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  y )
5553, 54eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y )
56 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  A ) ) )
5756eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  A )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y ) )
5857elrab 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  A )  e.  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  <->  ( ( F `  A )  e.  ( Base `  H
)  /\  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  A
) )  e.  y ) )
5943, 55, 58sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( F `  A )  e.  {
w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )
60 cnpimaex 20203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 A )  /\  { w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  e.  K  /\  ( F `  A
)  e.  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } ) )
6118, 42, 59, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z )  C_  { w  e.  ( Base `  H )  |  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } ) )
62 ssrab 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  <->  ( ( F " z )  C_  ( Base `  H )  /\  A. w  e.  ( F " z ) ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y ) )
6362simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  ->  A. w  e.  ( F " z
) ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y )
6422adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
65 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  F  Fn  X )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  F  Fn  X )
678adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
68 toponss 19875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
6967, 68sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
70 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  v )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) ) )
7170eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F `  v )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y ) )
7271ralima 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  C_  X )  -> 
( A. w  e.  ( F " z
) ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) w )  e.  y  <->  A. v  e.  z 
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) )
7366, 69, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. w  e.  ( F " z ) ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y  <->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) )
7463, 73syl5ib 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( F " z
)  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y }  ->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y ) )
75 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) )
7675mptpreima 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) " z )  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }
77 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G  e. TopMnd )
7877ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  G  e. TopMnd )
7925adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  G  e.  Grp )
8031adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  X
)
8126adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  X
)
825, 32grpsubcl 16685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( -g `  G ) x )  e.  X )
8379, 80, 81, 82syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( A (
-g `  G )
x )  e.  X
)
84 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8575, 5, 84, 4tmdlactcn 21048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
8678, 83, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
87 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  z  e.  J
)
88 cnima 20212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) "
z )  e.  J
)
8986, 87, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( ( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) )
" z )  e.  J )
9076, 89syl5eqelr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  e.  J )
915, 84, 32grpnpcan 16697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  =  A )
9279, 80, 81, 91syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  =  A )
93 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A  e.  z )
9492, 93eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
95 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x ) )
9695eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  <->  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
9796elrab 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
9881, 94, 97sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  x  e.  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )
99 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. v  e.  z  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y )
100 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  ( F `  v )  =  ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
101100oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) ) )
102101eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  ->  (
( ( F `  ( x ( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y  <->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
103102rspccv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  z  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
10499, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
105104adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  e.  y ) )
10623adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
10734adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  X )
108106, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
10931adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  A  e.  X )
11026adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  x  e.  X )
111108, 109, 110, 82syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X )
112 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
1135, 84grpcl 16630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A ( -g `  G
) x )  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  X )
114108, 111, 112, 113syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  X )
1155, 84, 36ghmlin 16839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  X  /\  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  X
)  ->  ( F `  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) ) )
116106, 107, 114, 115syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) ) )
117 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1185, 32, 117grpinvsub 16687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
x ( -g `  G
) A ) )  =  ( A (
-g `  G )
x ) )
119108, 110, 109, 118syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( invg `  G ) `  (
x ( -g `  G
) A ) )  =  ( A (
-g `  G )
x ) )
120119oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) )  =  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G ) x ) ) )
121 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
1225, 84, 121, 117grprinv 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x ( -g `  G ) A )  e.  X )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  ( x
( -g `  G ) A ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
123108, 107, 122syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) )  =  ( 0g `  G ) )
124120, 123eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( A (
-g `  G )
x ) )  =  ( 0g `  G
) )
125124oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G
) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) w ) )
1265, 84grpass 16631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( x (
-g `  G ) A )  e.  X  /\  ( A ( -g `  G ) x )  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G ) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
127108, 107, 111, 112, 126syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( A ( -g `  G
) x ) ) ( +g  `  G
) w )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) ) )
1285, 84, 121grplid 16647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) w )  =  w )
129108, 112, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) w )  =  w )
130125, 127, 1293eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w ) )  =  w )
131130fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( F `  w ) )
132116, 131eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  =  ( F `  w ) )
133132adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( x
( -g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w ) ) )  =  ( F `
 w ) )
134133eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  ( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w ) ) )  e.  y  <-> 
( F `  w
)  e.  y ) )
135105, 134sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
136135ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. w  e.  X  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
137 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  ( F `  v )  =  ( F `  w ) )
138137eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  w  ->  (
( F `  v
)  e.  y  <->  ( F `  w )  e.  y ) )
139138ralrab2 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. v  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  ( F `
 v )  e.  y  <->  A. w  e.  X  ( ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z  ->  ( F `  w )  e.  y ) )
140136, 139sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  A. v  e.  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ( F `  v )  e.  y )
14122adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  F : X --> ( Base `  H )
)
142 ffun 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  Fun  F )
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  Fun  F )
144 ssrab2 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  C_  X
145 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : X --> ( Base `  H )  ->  dom  F  =  X )
146141, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  dom  F  =  X )
147144, 146syl5sseqr 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  C_  dom  F )
148 funimass4 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  C_  dom  F )  ->  (
( F " {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } ) 
C_  y  <->  A. v  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ( F `  v )  e.  y ) )
149143, 147, 148syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( ( F
" { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y  <->  A. v  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  ( F `
 v )  e.  y ) )
150140, 149mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  ( F " { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
)
151 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z } ) )
152 imaeq2 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( F " u )  =  ( F " { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z } ) )
153152sseq1d 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( ( F " u )  C_  y 
<->  ( F " {
w  e.  X  | 
( ( A (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } ) 
C_  y ) )
154151, 153anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  ->  ( (
x  e.  u  /\  ( F " u ) 
C_  y )  <->  ( x  e.  { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  /\  ( F
" { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
) ) )
155154rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z }  e.  J  /\  ( x  e.  { w  e.  X  |  (
( A ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) w )  e.  z }  /\  ( F " { w  e.  X  |  ( ( A ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) w )  e.  z } )  C_  y
) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
15690, 98, 150, 155syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  ( z  e.  J  /\  ( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `  (
x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  e.  y ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
157156expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( A  e.  z  /\  A. v  e.  z  ( ( F `
 ( x (
-g `  G ) A ) ) ( +g  `  H ) ( F `  v
) )  e.  y )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) )
15874, 157sylan2d 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
( A  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
159158rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  ( E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  { w  e.  ( Base `  H
)  |  ( ( F `  ( x ( -g `  G
) A ) ) ( +g  `  H
) w )  e.  y } )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
16061, 159mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) )
161160anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  K  /\  ( F `  x )  e.  y ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
)
162161expr 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  K )  ->  (
( F `  x
)  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) )
163162ralrimiva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  x )  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) )
1648adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16513adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) ) )
166 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
167 iscnp 20184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> ( Base `  H )  /\  A. y  e.  K  (
( F `  x
)  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u
)  C_  y )
) ) ) )
168164, 165, 166, 167syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  x )  e.  y  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  ( F " u )  C_  y ) ) ) ) )
16917, 163, 168mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
170169ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )
171 cncnp 20227 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  H ) ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> ( Base `  H
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
1728, 13, 171syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> ( Base `  H
)  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
17316, 170, 172mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
174173ex 435 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
1753, 174jcad 535 . . 3  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  ( A  e. 
U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
1761cncnpi 20225 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  U. J )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
177176ancoms 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)
178175, 177impbid1 206 . 2  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1797, 28syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  X  =  U. J )
180179eleq2d 2499 . . 3  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J
) )
181180anbi1d 709 . 2  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( ( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  <->  ( A  e.  U. J  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) ) ) )
182178, 181bitr4d 259 1  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  H  e. TopMnd  /\  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  <-> 
( A  e.  X  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    C_ wss 3442   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   "cima 4857   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   TopOpenctopn 15279   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621   -gcsg 16622    GrpHom cghm 16831  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171    CnP ccnp 20172  TopMndctmd 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7482  df-0g 15299  df-topgen 15301  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-ghm 16832  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-tx 20508  df-tmd 21018
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