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Theorem ghgrpOLD 26079
Description: Obsolete version of ghmgrp 16795 as of 14-Mar-2020. The image of a group  G under a group homomorphism  F is a group. This is a stronger result than that usually found in the literature, since the target of the homomorphism (operator 
O in our model) need not have any of the properties of a group as a prerequisite. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrpOLD.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
ghgrpOLD.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
ghgrpOLD.3  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghgrpOLD.4  |-  X  =  ran  G
ghgrpOLD.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
ghgrpOLD.6  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
ghgrpOLD.7  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Assertion
Ref Expression
ghgrpOLD  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    ph, x, y    x, H, y    x, X, y    x, Y, y   
x, O, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ghgrpOLD
Dummy variables  z 
b  c  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrpOLD.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 ghgrpOLD.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
3 rnexg 6735 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 ghgrpOLD.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
7 fornex 6772 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
85, 6, 7sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
9 fof 5806 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
106, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 eqid 2422 . . . . . 6  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
121, 11grpoidcl 25928 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
132, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (GId `  G )  e.  X )
1410, 13ffvelrnd 6034 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y )
15 ne0i 3767 . . 3  |-  ( ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y  ->  Y  =/=  (/) )
1614, 15syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
17 ghgrpOLD.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
18 ghgrpOLD.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
19 xpss12 4955 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
2018, 18, 19syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
21 fnssres 5703 . . . . 5  |-  ( ( O  Fn  ( A  X.  A )  /\  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )  -> 
( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2217, 20, 21syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
23 ghgrpOLD.3 . . . . 5  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
2423fneq1i 5684 . . . 4  |-  ( H  Fn  ( Y  X.  Y )  <->  ( O  |`  ( Y  X.  Y
) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2522, 24sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
266adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X -onto-> Y )
27 ghgrpOLD.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
286, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) )
291grpocl 25911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
30293expb 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
312, 30sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G y )  e.  X )
3210ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x G y )  e.  X )  ->  ( F `  ( x G y ) )  e.  Y )
3331, 32syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  e.  Y )
3428, 33eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y )
3534anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 y ) )  e.  Y )
36 oveq2 6309 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H b )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
3736eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y ) )
3826, 35, 37ghgrplem1OLD 26077 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  b  e.  Y )  ->  (
( F `  x
) H b )  e.  Y )
3938ralrimiva 2839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y )
40 oveq1 6308 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H b )  =  ( ( F `
 x ) H b ) )
4140eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
4241ralbidv 2864 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y  <->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
436, 39, 42ghgrplem1OLD 26077 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
4443ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
45 ffnov 6410 . . 3  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y ) )
4625, 44, 45sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Y  X.  Y ) --> Y )
472adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  G  e.  GrpOp )
48 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
49 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
50 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
511grpoass 25914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5247, 48, 49, 50, 51syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5352fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( F `  ( x G ( y G z ) ) ) )
54 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ph )
5531adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
566, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x G y )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( x G y ) G z ) )  =  ( ( F `  ( x G y ) ) H ( F `  z ) ) )
5754, 55, 50, 56syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( ( F `
 ( x G y ) ) H ( F `  z
) ) )
581grpocl 25911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G z )  e.  X )
5947, 49, 50, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y G z )  e.  X )
606, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) ) )
6154, 48, 59, 60syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6253, 57, 613eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6328adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G y ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
6463oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
656, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y G z ) )  =  ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) )
6654, 49, 50, 65syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( y G z ) )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
6766oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6862, 64, 673eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6968expr 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) )
7069impancom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
71 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
72 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H c )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
7372oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  x
) H ( ( F `  y ) H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7471, 73eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
7574imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) ) )
766, 70, 75ghgrplem1OLD 26077 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
7776impancom 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) )
7877expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
7978impancom 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8036oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c ) )
81 oveq1 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
b H c )  =  ( ( F `
 y ) H c ) )
8281oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )
8380, 82eqeq12d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
8483imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8584imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) ) ) )
866, 79, 85ghgrplem1OLD 26077 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8786impancom 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8840oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H b ) H c ) )
89 oveq1 6308 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( b H c ) ) )
9088, 89eqeq12d 2444 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )
9190imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
9291imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) ) )
936, 87, 92ghgrplem1OLD 26077 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) )
9493ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  Y  ->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) ) )
95943imp2 1220 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )
9610adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
972adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
98 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
99 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
100 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
1011, 100grpodivcl 25958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X )
10297, 98, 99, 101syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y (  /g  `  G ) x )  e.  X )
10396, 102ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y )
104 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  ph )
1056, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
106104, 102, 99, 105syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
1071, 100grponpcan 25963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
10897, 98, 99, 107syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
109108fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( F `  y ) )
110106, 109eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y ) )
111 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) ) )
112111eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( (
c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  ( y
(  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) )  =  ( F `  y ) ) )
113112rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y  /\  (
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) ) H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )
114103, 110, 113syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `
 y ) )
115 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
1161, 115grpoinvcl 25937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X )
11797, 99, 116syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  x )  e.  X )
1181grpocl 25911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X )
11997, 117, 98, 118syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  x
) G y )  e.  X )
12096, 119ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y )
1216, 27, 23ghgrplem2OLD 26078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
122104, 99, 119, 121syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
1231, 115grpoasscan1 25948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
12497, 99, 98, 123syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
125124fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
126122, 125eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
127 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) ) )
128127eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) )  =  ( F `  y ) ) )
129128rspcev 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y  /\  (
( F `  x
) H ( F `
 ( ( ( inv `  G ) `
 x ) G y ) ) )  =  ( F `  y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
130120, 126, 129syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
131114, 130jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) )
132131expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
133132impancom 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
134 eqeq2 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
135134rexbidv 2939 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
136 eqeq2 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
137136rexbidv 2939 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
138135, 137anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) ) )
139138imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
1406, 133, 139ghgrplem1OLD 26077 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
141140impancom 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
142 oveq2 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
c H a )  =  ( c H ( F `  x
) ) )
143142eqeq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c H a )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
144143rexbidv 2939 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
145 oveq1 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H c )  =  ( ( F `
 x ) H c ) )
146145eqeq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
147146rexbidv 2939 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
148144, 147anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) ) )
149148imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  b ) ) ) )
1506, 141, 149ghgrplem1OLD 26077 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) ) )
151150impr 623 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )
152151simpld 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b )
153151simprd 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )
1548, 16, 46, 95, 152, 153isgrp2d 25946 1  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761    X. cxp 4847   ran crn 4850    |` cres 4851    Fn wfn 5592   -->wf 5593   -onto->wfo 5595   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   GrpOpcgr 25897  GIdcgi 25898   invcgn 25899    /g cgs 25900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-grpo 25902  df-gid 25903  df-ginv 25904  df-gdiv 25905
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