MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghgrp Structured version   Unicode version

Theorem ghgrp 23855
Description: The image of a group  G under a group homomorphism  F is a group. This is a stronger result than that usually found in the literature, since the target of the homomorphism (operator  O in our model) need not have any of the properties of a group as a prerequisite. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
ghgrp.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
ghgrp.3  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
ghgrp.4  |-  X  =  ran  G
ghgrp.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
ghgrp.6  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
ghgrp.7  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Assertion
Ref Expression
ghgrp  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    ph, x, y    x, H, y    x, X, y    x, Y, y   
x, O, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ghgrp
Dummy variables  z 
b  c  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.4 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 ghgrp.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
3 rnexg 6510 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
51, 4syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 ghgrp.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
7 fornex 6546 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
85, 6, 7sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
9 fof 5620 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
121, 11grpoidcl 23704 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  (GId `  G
)  e.  X )
132, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (GId `  G )  e.  X )
1410, 13ffvelrnd 5844 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y )
15 ne0i 3643 . . 3  |-  ( ( F `  (GId `  G ) )  e.  Y  ->  Y  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
17 ghgrp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  Fn  ( A  X.  A ) )
18 ghgrp.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  C_  A )
19 xpss12 4945 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
2018, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )
21 fnssres 5524 . . . . 5  |-  ( ( O  Fn  ( A  X.  A )  /\  ( Y  X.  Y
)  C_  ( A  X.  A ) )  -> 
( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2217, 20, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
23 ghgrp.3 . . . . 5  |-  H  =  ( O  |`  ( Y  X.  Y ) )
2423fneq1i 5505 . . . 4  |-  ( H  Fn  ( Y  X.  Y )  <->  ( O  |`  ( Y  X.  Y
) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )
2522, 24sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
266adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X -onto-> Y )
27 ghgrp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) O ( F `  y ) ) )
286, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) )
291grpocl 23687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
30293expb 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x G y )  e.  X )
312, 30sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G y )  e.  X )
3210ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x G y )  e.  X )  ->  ( F `  ( x G y ) )  e.  Y )
3331, 32syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G y ) )  e.  Y )
3428, 33eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y )
3534anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 y ) )  e.  Y )
36 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H b )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
3736eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  y ) )  e.  Y ) )
3826, 35, 37ghgrplem1 23853 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  b  e.  Y )  ->  (
( F `  x
) H b )  e.  Y )
3938ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y )
40 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H b )  =  ( ( F `
 x ) H b ) )
4140eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b )  e.  Y  <->  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
4241ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y  <->  A. b  e.  Y  ( ( F `  x ) H b )  e.  Y ) )
436, 39, 42ghgrplem1 23853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
4443ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y )
45 ffnov 6194 . . 3  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. a  e.  Y  A. b  e.  Y  ( a H b )  e.  Y ) )
4625, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  H : ( Y  X.  Y ) --> Y )
472adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  G  e.  GrpOp )
48 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
49 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
50 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
511grpoass 23690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5247, 48, 49, 50, 51syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
5352fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( F `  ( x G ( y G z ) ) ) )
54 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ph )
5531adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
x G y )  e.  X )
566, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x G y )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( x G y ) G z ) )  =  ( ( F `  ( x G y ) ) H ( F `  z ) ) )
5754, 55, 50, 56syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
x G y ) G z ) )  =  ( ( F `
 ( x G y ) ) H ( F `  z
) ) )
581grpocl 23687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y G z )  e.  X )
5947, 49, 50, 58syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
y G z )  e.  X )
606, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) ) )
6154, 48, 59, 60syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6253, 57, 613eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  (
y G z ) ) ) )
6328adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( x G y ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) )
6463oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
x G y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
656, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y G z ) )  =  ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) )
6654, 49, 50, 65syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  ( F `  ( y G z ) )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
6766oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
) H ( F `
 ( y G z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6862, 64, 673eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
6968expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) )
7069impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
71 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H ( F `  z
) ) )
72 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) H c )  =  ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) )
7372oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  x
) H ( ( F `  y ) H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H ( F `  z ) ) ) )
7471, 73eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H ( F `
 z ) ) ) ) )
7574imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H ( F `  z
) ) ) ) ) )
766, 70, 75ghgrplem1 23853 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
7776impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) )
7877expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
7978impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8036oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H ( F `  y ) ) H c ) )
81 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
b H c )  =  ( ( F `
 y ) H c ) )
8281oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  x
) H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( ( F `  y ) H c ) ) )
8380, 82eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) )
8483imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H ( F `  y
) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `
 y ) H c ) ) ) ) )
8584imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H ( F `
 y ) ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( ( F `  y
) H c ) ) ) ) ) )
866, 79, 85ghgrplem1 23853 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8786impancom 440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
8840oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H b ) H c )  =  ( ( ( F `  x ) H b ) H c ) )
89 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H ( b H c ) )  =  ( ( F `
 x ) H ( b H c ) ) )
9088, 89eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) )  <->  ( (
( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) )
9190imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )  <-> 
( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `
 x ) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) )
9291imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( ( F `  x
) H b ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( b H c ) ) ) ) ) )
936, 87, 92ghgrplem1 23853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) )
9493ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  Y  ->  ( b  e.  Y  ->  ( c  e.  Y  ->  ( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) ) ) ) )
95943imp2 1202 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y  /\  c  e.  Y ) )  -> 
( ( a H b ) H c )  =  ( a H ( b H c ) ) )
9610adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X --> Y )
972adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
98 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
99 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
100 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  /g  `  G )  =  (  /g  `  G )
1011, 100grpodivcl 23734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X )
10297, 98, 99, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y (  /g  `  G ) x )  e.  X )
10396, 102ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y )
104 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  ph )
1056, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y (  /g  `  G
) x )  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
106104, 102, 99, 105syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( ( F `
 ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) ) )
1071, 100grponpcan 23739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
10897, 98, 99, 107syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( y (  /g  `  G ) x ) G x )  =  y )
109108fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y (  /g  `  G ) x ) G x ) )  =  ( F `  y ) )
110106, 109eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y ) )
111 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) ) H ( F `
 x ) ) )
112111eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( y (  /g  `  G ) x ) )  ->  ( (
c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  ( y
(  /g  `  G ) x ) ) H ( F `  x
) )  =  ( F `  y ) ) )
113112rspcev 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) )  e.  Y  /\  (
( F `  (
y (  /g  `  G
) x ) ) H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) )
114103, 110, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `
 y ) )
115 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
1161, 115grpoinvcl 23713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X )
11797, 99, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( inv `  G
) `  x )  e.  X )
1181grpocl 23687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
( inv `  G
) `  x )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X )
11997, 117, 98, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( inv `  G ) `  x
) G y )  e.  X )
12096, 119ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y )
1216, 27, 23ghgrplem2 23854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y )  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
122104, 99, 119, 121syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) ) )
1231, 115grpoasscan1 23724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
12497, 99, 98, 123syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  =  y )
125124fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x G ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
126122, 125eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) )  =  ( F `
 y ) )
127 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G
) `  x ) G y ) ) ) )
128127eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) )  ->  ( (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y )  <->  ( ( F `  x ) H ( F `  ( ( ( inv `  G ) `  x
) G y ) ) )  =  ( F `  y ) ) )
129128rspcev 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  (
( ( inv `  G
) `  x ) G y ) )  e.  Y  /\  (
( F `  x
) H ( F `
 ( ( ( inv `  G ) `
 x ) G y ) ) )  =  ( F `  y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
130120, 126, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `
 y ) )
131114, 130jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) )
132131expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
133132impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  ( F `  y ) ) ) )
134 eqeq2 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
135134rexbidv 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
) ) )
136 eqeq2 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
137136rexbidv 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  ( E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) )
138135, 137anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  ( F `  y
) ) ) )
139138imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( F `  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
1406, 133, 139ghgrplem1 23853 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
141140impancom 440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x
) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `
 x ) H c )  =  b ) ) )
142 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
c H a )  =  ( c H ( F `  x
) ) )
143142eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( c H a )  =  b  <->  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
144143rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b ) )
145 oveq1 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
a H c )  =  ( ( F `
 x ) H c ) )
146145eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( a H c )  =  b  <->  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
147146rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  ( E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b  <->  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) )
148144, 147anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )  <->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `  x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( ( F `  x ) H c )  =  b ) ) )
149148imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( a  =  ( F `  x )  ->  (
( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )  <->  ( b  e.  Y  ->  ( E. c  e.  Y  ( c H ( F `
 x ) )  =  b  /\  E. c  e.  Y  (
( F `  x
) H c )  =  b ) ) ) )
1506, 141, 149ghgrplem1 23853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  Y )  ->  (
b  e.  Y  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) ) )
151150impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  -> 
( E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b  /\  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b ) )
152151simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( c H a )  =  b )
153151simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y ) )  ->  E. c  e.  Y  ( a H c )  =  b )
1548, 16, 46, 95, 152, 153isgrp2d 23722 1  |-  ( ph  ->  H  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637    X. cxp 4838   ran crn 4841    |` cres 4842    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   GrpOpcgr 23673  GIdcgi 23674   invcgn 23675    /g cgs 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-grpo 23678  df-gid 23679  df-ginv 23680  df-gdiv 23681
This theorem is referenced by:  ghablo  23856  ghsubgolem  23857
  Copyright terms: Public domain W3C validator