Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghablo Structured version   Unicode version

Theorem ghablo 25044
 Description: The image of an Abelian group under a group homomorphism is an Abelian group (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ghgrp.1
ghgrp.2
ghgrp.3
ghgrp.4
ghgrp.5
ghgrp.6
ghablo.7
Assertion
Ref Expression
ghablo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ghablo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghgrp.1 . . 3
2 ghgrp.2 . . 3
3 ghgrp.3 . . 3
4 ghgrp.4 . . 3
5 ghgrp.5 . . 3
6 ghgrp.6 . . 3
7 ghablo.7 . . . 4
8 ablogrpo 24959 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9ghgrp 25043 . 2
11 fndm 5678 . . . . . . . . 9
126, 11syl 16 . . . . . . . 8
133resgrprn 24955 . . . . . . . 8
1412, 10, 5, 13syl3anc 1228 . . . . . . 7
1514eleq2d 2537 . . . . . 6
1614eleq2d 2537 . . . . . 6
1715, 16anbi12d 710 . . . . 5
1817biimpar 485 . . . 4
197adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
21 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13
224ablocom 24960 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
2423fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11
251, 2, 3ghgrplem2 25042 . . . . . . . . . . 11
261, 2, 3ghgrplem2 25042 . . . . . . . . . . . 12
2726ancom2s 800 . . . . . . . . . . 11
2824, 25, 273eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10
2928ancom2s 800 . . . . . . . . 9
3029expr 615 . . . . . . . 8
31 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10
32 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10
3331, 32eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9
3433imbi2d 316 . . . . . . . 8
351, 30, 34ghgrplem1 25041 . . . . . . 7
3635impancom 440 . . . . . 6
37 oveq1 6289 . . . . . . . 8
38 oveq2 6290 . . . . . . . 8
3937, 38eqeq12d 2489 . . . . . . 7
4039imbi2d 316 . . . . . 6
411, 36, 40ghgrplem1 25041 . . . . 5
4241impr 619 . . . 4
4318, 42syldan 470 . . 3
4443ralrimivva 2885 . 2
45 eqid 2467 . . 3
4645isablo 24958 . 2
4710, 44, 46sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476   cxp 4997   cdm 4999   crn 5000   cres 5001   wfn 5581  wfo 5584  cfv 5586  (class class class)co 6282  cgr 24861  cablo 24956 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-gdiv 24869  df-ablo 24957 This theorem is referenced by:  ghsubgolem  25045
 Copyright terms: Public domain W3C validator