Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexval Structured version   Unicode version

Theorem gexval 16471
 Description: Value of the exponent of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexval.1
gexval.2 .g
gexval.3
gexval.4 gEx
gexval.i
Assertion
Ref Expression
gexval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem gexval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexval.4 . 2 gEx
2 df-gex 16427 . . . 4 gEx .g
32a1i 11 . . 3 gEx .g
4 nnex 10554 . . . . . 6
54rabex 4604 . . . . 5 .g
65a1i 11 . . . 4 .g
7 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
87fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
9 gexval.1 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11
117fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
12 gexval.2 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
1311, 12syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13 .g
1413oveqd 6312 . . . . . . . . . . . 12 .g
157fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
16 gexval.3 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . 12
1814, 17eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11 .g
1910, 18raleqbidv 3077 . . . . . . . . . 10 .g
2019rabbidv 3110 . . . . . . . . 9 .g
21 gexval.i . . . . . . . . 9
2220, 21syl6eqr 2526 . . . . . . . 8 .g
2322eqeq2d 2481 . . . . . . 7 .g
2423biimpa 484 . . . . . 6 .g
2524eqeq1d 2469 . . . . 5 .g
2624supeq1d 7918 . . . . 5 .g
2725, 26ifbieq2d 3970 . . . 4 .g
286, 27csbied 3467 . . 3 .g
29 elex 3127 . . 3
30 c0ex 9602 . . . . 5
31 gtso 9678 . . . . . 6
3231supex 7935 . . . . 5
3330, 32ifex 4014 . . . 4
3433a1i 11 . . 3
353, 28, 29, 34fvmptd 5962 . 2 gEx
361, 35syl5eq 2520 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  crab 2821  cvv 3118  csb 3440  c0 3790  cif 3945   cmpt 4511  ccnv 5004  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cr 9503  cc0 9504   clt 9640  cn 10548  cbs 14507  c0g 14712  .gcmg 15928  gExcgex 16423 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-nn 10549  df-gex 16427 This theorem is referenced by:  gexlem1  16472  gexlem2  16475
 Copyright terms: Public domain W3C validator